Polinomial (suku banyak) p(x)=(x-a)^5+(x-b)^4+(x-c) habis

Berdasarkan analisis kondisi pembagian polinomial dan manipulasi aljabar dari persamaan yang dihasilkan, ekspresi untuk $b$ dalam $a$ dan $c$ adalah $b = \frac{ac - a^2 - c}{c-a-1}$.

Pembahasan

Polinomial $p(x)=(x-a)^5+(x-b)^4+(x-c)$ habis dibagi oleh $x^2-(a+b)x+ab$. Ini berarti bahwa $p(a)=0$ dan $p(b)=0$.

Karena $p(x)$ habis dibagi oleh $x^2-(a+b)x+ab = (x-a)(x-b)$, maka $x=a$ dan $x=b$ adalah akar-akar dari polinomial $p(x)$. Dengan kata lain, $p(a) = 0$ dan $p(b) = 0$.

Substitusikan $x=a$ ke dalam $p(x)$: 
$p(a) = (a-a)^5 + (a-b)^4 + (a-c) = 0^5 + (a-b)^4 + (a-c) = (a-b)^4 + (a-c) = 0$. 
Jadi, $(a-b)^4 = -(a-c)$.

Substitusikan $x=b$ ke dalam $p(x)$: 
$p(b) = (b-a)^5 + (b-b)^4 + (b-c) = (b-a)^5 + 0^4 + (b-c) = (b-a)^5 + (b-c) = 0$.
Jadi, $(b-a)^5 = -(b-c)$.

Kita punya dua persamaan:
1) $(a-b)^4 = -(a-c)$
2) $(b-a)^5 = -(b-c)$

Dari persamaan (1), kita dapat menuliskan $(b-a)^4 = -(a-c)$.
Karena $(b-a)^4 = (a-b)^4$, maka kedua persamaan tersebut konsisten.

Kita tahu bahwa $a-c 
eq 1$. Dari persamaan (1), kita dapatkan $a-c = -(a-b)^4$. 
Dari persamaan (2), kita dapatkan $b-c = -(b-a)^5$. Karena $a-b = -(b-a)$, maka $(a-b)^5 = -(b-a)^5$. Jadi, $b-c = -(-(a-b)^5) = (a-b)^5$. 

Sekarang kita punya:
$a-c = -(a-b)^4$
$b-c = (a-b)^5$

Kita perlu mencari ekspresi untuk $b$ dalam $a$ dan $c$. Mari kita eliminasi $c$. 
Dari persamaan pertama, $c = a + (a-b)^4$. 
Substitusikan ini ke persamaan kedua:
$(a + (a-b)^4) - b = (a-b)^5$
$a - b + (a-b)^4 = (a-b)^5$

Misalkan $y = a-b$. Maka persamaan menjadi:
$y + y^4 = y^5$
$y^5 - y^4 - y = 0$
$y(y^4 - y^3 - 1) = 0$

Ini memberikan dua kemungkinan:
Kasus 1: $y = 0$. Jika $y=a-b=0$, maka $a=b$. 
Jika $a=b$, maka dari $(a-b)^4 = -(a-c)$, kita dapatkan $0^4 = -(a-c)$, yang berarti $a-c=0$, atau $a=c$. Ini bertentangan dengan kondisi bahwa polinomial $p(x)$ dibagi oleh $x^2-(a+b)x+ab$, yang mensyaratkan $a 
eq b$ (karena jika $a=b$, pembaginya menjadi $(x-a)^2$). Oleh karena itu, $y 
eq 0$. 

Kasus 2: $y^4 - y^3 - 1 = 0$. 
Kita perlu mengekspresikan $b$ dalam $a$ dan $c$. Kita punya $y = a-b$, jadi $b = a-y$. 
Kita juga punya $a-c = -(a-b)^4 = -y^4$. 
Dan $b-c = (a-b)^5 = y^5$. 
Dari $a-c = -y^4$, maka $y^4 = c-a$. 
Dari $b-c = y^5$. 
Kita substitusikan $y^4 = c-a$ ke dalam persamaan $y^4 - y^3 - 1 = 0$: 
$(c-a) - y^3 - 1 = 0$
$y^3 = c-a-1$

Kita punya $y = a-b$. Maka $y^3 = (a-b)^3$. 
Jadi, $(a-b)^3 = c-a-1$. 
Kita juga punya $y^4 = c-a$, yang berarti $y 	imes y^3 = c-a$. 
$(a-b)(c-a-1) = c-a$. 
$(a-b)(c-a-1) = c-a$. 
$a(c-a-1) - b(c-a-1) = c-a$. 
$ac - a^2 - a - bc + ab + b = c-a$. 
$ac - a^2 - bc + ab + b = c$. 
$b(a+1-c) = c + a^2 - ac$. 
$b(a+1-c) = a(a-c) + c$. 

Jika $a+1-c 
eq 0$, maka $b = rac{a(a-c) + c}{a+1-c}$. 
Karena $a-c 
eq 1$, maka $a+1-c 
eq a+(a-c)-c = 2a-2c$. 

Mari kita cek kembali. 
Kita punya $(a-b)^3 = c-a-1$. 
Kita juga punya $(a-b)^4 = c-a$. 
Bagi kedua persamaan: $rac{(a-b)^4}{(a-b)^3} = rac{c-a}{c-a-1}$. 
$a-b = rac{c-a}{c-a-1}$. 
$b = a - rac{c-a}{c-a-1} = rac{a(c-a-1) - (c-a)}{c-a-1} = rac{ac - a^2 - a - c + a}{c-a-1} = rac{ac - a^2 - c}{c-a-1}$. 
$b = rac{a(c-a) - c}{c-a-1}$. 

Mari kita gunakan kondisi $a-c 
eq 1$. 
Dari $a-b = rac{c-a}{c-a-1}$, kita bisa tulis $b = a - rac{c-a}{c-a-1}$. 
$b = rac{a(c-a-1) - (c-a)}{c-a-1} = rac{ac - a^2 - a - c + a}{c-a-1} = rac{ac - a^2 - c}{c-a-1}$. 

Jawaban singkatnya adalah ekspresi untuk $b$ dalam $a$ dan $c$.