Diketahui lingkaran x^2+y^2=p dan garis x+y-z=0. Supaya

Agar garis dan lingkaran berpotongan di dua titik berbeda, p harus lebih besar dari kuadrat dari konstanta pada persamaan garis (dibagi 2), yaitu p > (konstanta_z)^2 / 2.

Pembahasan

Agar garis x + y - z = 0 berpotongan dengan lingkaran x^2 + y^2 = p di dua titik yang berbeda, jarak dari pusat lingkaran ke garis tersebut harus lebih kecil dari jari-jari lingkaran. Pusat lingkaran x^2 + y^2 = p adalah (0,0) dan jari-jarinya adalah sqrt(p).
Rumus jarak titik (x0, y0) ke garis Ax + By + C = 0 adalah |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2).
Dalam kasus ini, (x0, y0) = (0,0), A = 1, B = 1, dan C = 0 (perhatikan bahwa persamaan garis yang diberikan di soal adalah x+y-z=0, namun dalam konteks geometri analitik 2D, ini seharusnya x+y-k=0 atau sejenisnya, namun jika diasumsikan z adalah konstanta dan kita bekerja dalam ruang 3D, maka kita harus mencari jarak dari titik ke bidang. Namun, karena persamaan lingkaran diberikan dalam bentuk 2D (x^2+y^2=p), kita asumsikan ada kesalahan pengetikan pada persamaan garis dan seharusnya adalah x + y - k = 0 untuk suatu konstanta k, atau jika z memang variabel, maka soal ini berada dalam konteks 3D dan lingkaran berada di bidang xy. Namun, jika kita menginterpretasikan soal ini sebagai mencari perpotongan lingkaran x^2+y^2=p dengan garis di bidang xy, dan ada kesalahan pengetikan pada soal garis, mari kita gunakan persamaan garis dalam bentuk umum Ax + By + C = 0 yang relevan untuk perpotongan dengan lingkaran di 2D. Jika kita mengasumsikan persamaan garis adalah x + y = 0 (mengabaikan z atau menganggap z=0 untuk perpotongan di bidang xy), maka A=1, B=1, C=0. Jarak dari (0,0) ke garis x+y=0 adalah |1*0 + 1*0 + 0| / sqrt(1^2 + 1^2) = 0 / sqrt(2) = 0. Jarak 0 selalu lebih kecil dari jari-jari manapun (sqrt(p) untuk p>0). Ini berarti garis x+y=0 selalu memotong lingkaran x^2+y^2=p di dua titik jika p>0.

Namun, jika kita mengikuti soal persis seperti yang tertulis 'x+y-z=0' dan mengasumsikan ini adalah sebuah bidang di ruang 3D yang berpotongan dengan lingkaran x^2+y^2=p (yang terletak di bidang z=0), maka pusat lingkaran (0,0,0) tidak terletak pada bidang tersebut kecuali z=0. Jika z=0, maka persamaan bidang menjadi x+y=0. Jarak dari pusat (0,0,0) ke bidang x+y=0 adalah |1*0 + 1*0 + 0| / sqrt(1^2+1^2) = 0. Agar berpotongan di dua titik berbeda, jarak harus lebih kecil dari jari-jari. Ini berarti 0 < sqrt(p), atau p > 0.

Jika kita menginterpretasikan soal ini sebagai perpotongan lingkaran x^2+y^2=p dengan garis di bidang 2D, dan ada kesalahan pengetikan pada konstanta 'z', mari kita gunakan garis x+y-k=0. Jarak dari (0,0) ke x+y-k=0 adalah |1*0 + 1*0 - k| / sqrt(1^2 + 1^2) = |-k| / sqrt(2) = |k| / sqrt(2).
Agar berpotongan di dua titik berbeda, jarak harus lebih kecil dari jari-jari: |k| / sqrt(2) < sqrt(p).
Kuadratkan kedua sisi: k^2 / 2 < p.
Jadi, p > k^2 / 2.

Jika kita kembali ke soal asli dengan 'x+y-z=0', dan menganggap ini adalah garis di bidang 2D dengan z sebagai sebuah konstanta (misalnya z=c), maka persamaannya menjadi x+y-c=0. Maka k=c.
Jarak dari (0,0) ke x+y-c=0 adalah |c| / sqrt(2).
Agar berpotongan di dua titik berbeda, jarak harus lebih kecil dari jari-jari: |c| / sqrt(2) < sqrt(p).
Kuadratkan kedua sisi: c^2 / 2 < p.
Jadi, p harus lebih besar dari c^2 / 2.

Karena tidak ada nilai spesifik untuk z (atau c), dan soal meminta nilai p, ada kemungkinan soal ini memiliki informasi yang kurang atau ada asumsi tertentu. Namun, jika kita melihat pilihan yang mungkin, biasanya soal seperti ini mengarah pada kondisi diskriminan. Mari kita substitusi y = k - x (dari x+y-k=0) ke dalam persamaan lingkaran:
x^2 + (k-x)^2 = p
x^2 + k^2 - 2kx + x^2 = p
2x^2 - 2kx + (k^2 - p) = 0
Agar berpotongan di dua titik berbeda, diskriminan (D) harus lebih besar dari 0.
D = b^2 - 4ac
D = (-2k)^2 - 4(2)(k^2 - p)
D = 4k^2 - 8(k^2 - p)
D = 4k^2 - 8k^2 + 8p
D = -4k^2 + 8p
Agar D > 0:
-4k^2 + 8p > 0
8p > 4k^2
p > 4k^2 / 8
p > k^2 / 2

Jika kita mengasumsikan 'z' dalam 'x+y-z=0' adalah sebuah konstanta, dan nilai konstanta tersebut adalah 0 (yaitu garis x+y=0), maka k=0. Maka p > 0^2 / 2, yaitu p > 0. 

Jika kita asumsikan soal tersebut memiliki kesalahan pengetikan dan seharusnya adalah garis x+y = 0, maka k=0, dan p > 0.
Jika kita asumsikan soal tersebut memiliki kesalahan pengetikan dan seharusnya adalah garis x+y = 1, maka k=1, dan p > 1/2.
Jika kita asumsikan soal tersebut memiliki kesalahan pengetikan dan seharusnya adalah garis x+y = 2, maka k=2, dan p > 4/2 = 2.

Tanpa nilai spesifik untuk z, kita tidak bisa menentukan nilai pasti p. Namun, jika pertanyaan ini berasal dari konteks di mana 'z' adalah sebuah parameter atau konstanta yang nilainya diasumsikan, atau jika ada pilihan jawaban yang menyertainya, itu akan membantu. Jika kita harus memberikan jawaban berdasarkan informasi yang ada, dan menginterpretasikan 'z' sebagai konstanta, maka kondisi agar berpotongan di dua titik berbeda adalah p > (konstanta_z)^2 / 2. Jika tidak ada informasi lebih lanjut, kita tidak bisa memberikan nilai numerik pasti untuk p.