Diketahui segitiga OAB dengan O(0,0), A(4,7), dan B(6,2).a.

a. Koordinat C adalah (4,0) dan D adalah (6,0). b. Luas segitiga OAC adalah 14 satuan luas, dan luas segi empat ABCD adalah 9 satuan luas.

Pembahasan

Diketahui segitiga OAB dengan koordinat titik-titik: O(0,0), A(4,7), dan B(6,2).

a. Menentukan koordinat titik C dan D:
Kita perlu menarik dua garis yang masing-masing melalui A dan B serta tegak lurus sumbu X. Garis yang tegak lurus sumbu X adalah garis vertikal.

Untuk titik A(4,7):
Sebuah garis vertikal yang melalui A akan memiliki persamaan $x = 4$. Garis ini memotong sumbu X di titik di mana $y=0$. Jadi, koordinat titik C adalah $(4,0)$.

Untuk titik B(6,2):
Sebuah garis vertikal yang melalui B akan memiliki persamaan $x = 6$. Garis ini memotong sumbu X di titik di mana $y=0$. Jadi, koordinat titik D adalah $(6,0)$.

Jadi, koordinat C adalah (4,0) dan koordinat D adalah (6,0).

b. Menentukan luas segitiga OAC dan segi empat ABCD:

Luas segitiga OAC:
Titik-titik segitiga OAC adalah O(0,0), A(4,7), dan C(4,0).
Ini adalah segitiga siku-siku dengan alas pada sumbu X (dari O ke C) dan tinggi vertikal (dari C ke A).
Alas OC = jarak dari (0,0) ke (4,0) = 4 satuan.
Tinggi AC = jarak dari (4,0) ke (4,7) = 7 satuan.
Luas segitiga OAC = $\frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi}$
Luas segitiga OAC = $\frac{1}{2} \times OC \times AC = \frac{1}{2} \times 4 \times 7 = 14$ satuan luas.

Luas segi empat ABCD:
Segi empat ABCD memiliki titik-titik A(4,7), B(6,2), C(4,0), dan D(6,0).
Ini adalah sebuah trapesium karena sisi AC dan BD adalah vertikal (sejajar sumbu Y) dan AD serta BC tidak sejajar (kecuali dalam kasus khusus). Namun, lebih tepatnya, kita bisa melihatnya sebagai trapesium jika kita memproyeksikan titik A dan B ke sumbu X. Sisi CD terletak pada sumbu X.

Cara 1: Membagi menjadi dua segitiga.
Kita bisa membagi segi empat ABCD menjadi dua segitiga: segitiga ACD dan segitiga ABD, atau segitiga ABC dan segitiga BCD. Cara termudah adalah membagi menjadi segitiga ABC dan segitiga ACD, atau menggunakan metode trapesium.

Cara 2: Menggunakan rumus luas trapesium (dengan alas sejajar pada sumbu Y).
Perhatikan bahwa CD adalah alas pada sumbu X. AC dan BD adalah sisi-sisi vertikal. ABCD bukan trapesium standar dengan alas sejajar horizontal. 

Cara 3: Memandang sebagai gabungan dua trapesium atau mengurangi luas dari luas yang lebih besar.
Mari kita gunakan metode pengurangan atau membagi menjadi bangun yang lebih sederhana.

Kita bisa memandang segi empat ABCD sebagai sebuah trapesium besar yang dibentuk oleh titik (4,7), (6,2), (6,0), (4,0). Sisi AC dan BD adalah garis vertikal.
Ini adalah trapesium dengan sisi sejajar AD dan BC (jika kita memutar sumbu) atau sisi sejajar vertikal AC dan BD. 
Jika kita memproyeksikan titik A dan B ke sumbu X, kita mendapatkan C dan D. Segi empat ABCD dapat dilihat sebagai area di bawah garis AB dikurangi area di bawah garis CD (sumbu X), tetapi ini bukan cara yang tepat untuk segi empat.

Cara yang paling tepat adalah membagi segi empat ABCD menjadi dua bagian, misalnya dengan garis diagonal AC atau BD, atau dengan memproyeksikan titik A dan B ke sumbu X dan membentuk persegi panjang atau trapesium.

Mari kita gunakan metode koordinat untuk luas poligon atau membaginya menjadi segitiga.

Cara membagi segi empat ABCD menjadi dua segitiga menggunakan diagonal BD:
Segitiga BCD: B(6,2), C(4,0), D(6,0).
Alas CD = jarak dari C(4,0) ke D(6,0) = 2 satuan. Tinggi segitiga dari B ke alas CD adalah jarak vertikal dari B(6,2) ke garis $y=0$, yaitu 2 satuan. Luas BCD = $\frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$ satuan luas.

Segitiga ABD: A(4,7), B(6,2), D(6,0).
Alas BD = jarak dari B(6,2) ke D(6,0) = 2 satuan. Garis BD adalah garis vertikal $x=6$. Tinggi segitiga dari A ke alas BD adalah jarak horizontal dari A(4,7) ke garis $x=6$, yaitu $|6-4|=2$ satuan.
Luas ABD = $\frac{1}{2} \times 2 	imes 2 = 2$ satuan luas.

Luas segi empat ABCD = Luas BCD + Luas ABD = $2 + 2 = 4$ satuan luas.

Atau, membagi menggunakan diagonal AC:
Segitiga ABC: A(4,7), B(6,2), C(4,0).
Alas AC = jarak dari A(4,7) ke C(4,0) = 7 satuan. Garis AC adalah garis vertikal $x=4$. Tinggi segitiga dari B ke alas AC adalah jarak horizontal dari B(6,2) ke garis $x=4$, yaitu $|6-4|=2$ satuan.
Luas ABC = $\frac{1}{2} \times 7 	imes 2 = 7$ satuan luas.

Segitiga ADC: A(4,7), D(6,0), C(4,0).
Alas CD = jarak dari C(4,0) ke D(6,0) = 2 satuan. Tinggi segitiga dari A ke alas CD adalah jarak vertikal dari A(4,7) ke garis $y=0$, yaitu 7 satuan.
Luas ADC = $\frac{1}{2} \times 2 	imes 7 = 7$ satuan luas.

Luas segi empat ABCD = Luas ABC + Luas ADC = $7 + 7 = 14$ satuan luas.

Terdapat perbedaan hasil, mari kita periksa kembali. 

Perhitungan untuk luas segi empat ABCD:
Titik-titik adalah A(4,7), B(6,2), C(4,0), D(6,0).
Ini adalah sebuah trapesium jika kita melihat alas CD dan bayangan A dan B pada sumbu X.
Lebih tepatnya, ini adalah sebuah trapesium jika sisi AC sejajar dengan BD, yang keduanya vertikal. Namun, alas-alas sejajar dari trapesium adalah sisi-sisi yang sejajar. Dalam kasus ini, sisi AC (dari (4,0) ke (4,7)) dan sisi BD (dari (6,0) ke (6,2)) tidak sejajar karena mereka vertikal pada posisi x yang berbeda.

Mari kita gunakan metode Shoelace (rumus luas poligon):
Koordinat titik-titik secara berurutan (misalnya searah jarum jam atau berlawanan): C(4,0), D(6,0), B(6,2), A(4,7).
Luas = $\frac{1}{2} |(x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1)|$
Luas = $\frac{1}{2} |(4 	imes 0 + 6 	imes 2 + 6 	imes 7 + 4 	imes 0) - (0 	imes 6 + 0 	imes 6 + 2 	imes 4 + 7 	imes 4)|$
Luas = $\frac{1}{2} |(0 + 12 + 42 + 0) - (0 + 0 + 8 + 28)|$
Luas = $\frac{1}{2} |54 - 36|$
Luas = $\frac{1}{2} |18| = 9$ satuan luas.

Mari kita periksa kembali pembagian menjadi dua segitiga.
Segitiga OAC: O(0,0), A(4,7), C(4,0). Luas = 14.
Segi empat ABCD: A(4,7), B(6,2), C(4,0), D(6,0).
Salah satu cara untuk menghitung luas ABCD adalah dengan menganggapnya sebagai trapesium dengan sisi sejajar vertikal, dengan alas di sumbu X.
Ini bisa dilihat sebagai trapesium besar dari (0,0) ke (6,0) ke (6,2) ke (0,0) dikurangi trapesium lain.

Cara lain untuk menghitung luas ABCD:
Kita bisa melihatnya sebagai trapesium yang dibentuk oleh proyeksi A dan B ke sumbu X. Sisi CD adalah bagian dari sumbu X.
Luas ABCD dapat dihitung dengan mengurangkan luas segitiga ADC dari luas trapesium ABD'C' (di mana D' dan C' adalah titik pada sumbu X).

Mari kita lihat kembali pembagian segitiga.
Luas ABC: A(4,7), B(6,2), C(4,0). Alas AC vertikal sepanjang $x=4$. Panjang AC = 7. Jarak B ke garis $x=4$ adalah $6-4=2$. Luas ABC = $\frac{1}{2} \times 7 	imes 2 = 7$. Ini benar.
Luas ADC: A(4,7), D(6,0), C(4,0). Alas CD horizontal sepanjang $y=0$. Panjang CD = $6-4=2$. Jarak A ke garis $y=0$ adalah 7. Luas ADC = $\frac{1}{2} \times 2 	imes 7 = 7$. Ini juga benar.

Luas segi empat ABCD = Luas ABC + Luas ADC = $7 + 7 = 14$ satuan luas.

Kenapa metode Shoelace memberikan hasil 9? Mari kita periksa kembali titik-titiknya.
A(4,7), B(6,2), C(4,0), D(6,0).
Urutan titik untuk shoelace harus berurutan mengelilingi poligon. 
C(4,0) -> D(6,0) -> B(6,2) -> A(4,7) -> C(4,0)

$x_1=4, y_1=0$ (C)
$x_2=6, y_2=0$ (D)
$x_3=6, y_3=2$ (B)
$x_4=4, y_4=7$ (A)

$x_1y_2 = 4 	imes 0 = 0$
$x_2y_3 = 6 	imes 2 = 12$
$x_3y_4 = 6 	imes 7 = 42$
$x_4y_1 = 4 	imes 0 = 0$
Jumlah 1 = $0 + 12 + 42 + 0 = 54$

$y_1x_2 = 0 	imes 6 = 0$
$y_2x_3 = 0 	imes 6 = 0$
$y_3x_4 = 2 	imes 4 = 8$
$y_4x_1 = 7 	imes 4 = 28$
Jumlah 2 = $0 + 0 + 8 + 28 = 36$

Luas = $\frac{1}{2} |54 - 36| = \frac{1}{2} |18| = 9$.

Ada kesalahan dalam asumsi bahwa ABCD adalah gabungan dari ABC dan ADC seperti itu.
Perhatikan bentuk ABCD. C(4,0), D(6,0) ada di sumbu x. A(4,7) dan B(6,2). 
Ini adalah trapesium jika sisi AC sejajar dengan BD. Namun, AC adalah segmen vertikal dari (4,0) ke (4,7) dan BD adalah segmen vertikal dari (6,0) ke (6,2).

Jika kita melihat ini sebagai trapesium dengan alas sejajar pada sumbu Y, maka alasnya adalah AC dan BD. Tetapi mereka tidak sejajar. 

Jika kita melihat sisi CD sebagai alas horizontal, dan sisi AB sebagai sisi atas, maka ABCD adalah sebuah trapesium jika AD sejajar BC. 
Gradien AD = $\frac{0-7}{6-4} = \frac{-7}{2}$. 
Gradien BC = $\frac{0-2}{4-6} = \frac{-2}{-2} = 1$. 
Karena gradiennya berbeda, AD tidak sejajar BC. Jadi ini bukan trapesium dengan alas horizontal CD.

Mari kita lihat kembali pembagian menjadi segitiga.
Luas OAC = 14.
Untuk luas ABCD, mari kita gunakan luas trapesium yang dibentuk oleh proyeksi titik ke sumbu.
Luas ABCD dapat dihitung sebagai luas trapesium ACED dikurangi luas trapesium BCED, di mana E adalah titik di sumbu x.

Mari kita gunakan trapesium yang dibentuk oleh titik-titik pada sumbu X.
Kita punya titik C(4,0) dan D(6,0).
Titik A(4,7) dan B(6,2).
Ini adalah trapesium dengan sisi sejajar vertikal pada $x=4$ dan $x=6$. Sisi-sisi vertikalnya adalah AC dan BD.
Ini adalah trapesium dengan alas-alas vertikal, yang panjangnya berbeda. Namun, alas trapesium harus sejajar.

Cara yang benar untuk menghitung luas ABCD:
Kita bisa memandang ABCD sebagai gabungan dari persegi panjang dan segitiga, atau sebagai trapesium yang dipotong.

Perhatikan area di bawah garis AB. 
Luas di bawah garis AB dari $x=4$ sampai $x=6$ adalah luas trapesium yang dibentuk oleh (4,0), (6,0), (6,2), (4,7). Ini bukan ABCD.

Kembali ke pembagian segitiga:
Luas OAC = 14.
Luas ABCD:
Kita bisa menghitung luas area di bawah garis AB dikurangi luas area di bawah garis CD. Namun, ini tidak tepat.

Mari kita lihat ABCD sebagai trapesium dengan alas sejajar vertikal AC dan BD, dan alas horizontal CD.
Ini adalah bentuk yang lebih kompleks. Cara paling aman adalah metode shoelace atau membagi menjadi bangun yang lebih sederhana.

Luas segi empat ABCD dapat dihitung sebagai luas trapesium yang dibentuk oleh titik (4,0), (6,0), (6,2), (4,2) (persegi panjang jika A adalah (4,2)) ditambah segitiga.

Mari kita gunakan pendekatan visual. C(4,0), D(6,0) pada sumbu x. A(4,7) vertikal di atas C. B(6,2) vertikal di atas D (tapi lebih pendek).
Ini adalah sebuah bentuk dengan alas horizontal CD. Sisi vertikal AC dan BD.

Luas segi empat ABCD = Luas trapesium AC'C + Luas trapesium BD'D - Luas Segitiga.

Mari kita hitung ulang luas ABCD sebagai gabungan dua segitiga dengan alas pada sumbu x:
Luas segitiga OAC = 14.
Untuk ABCD:
Luas segitiga kecil di bawah AB, di atas sumbu X, yaitu trapesium yang dibentuk oleh (4,0), (6,0), (6,2), (4,0).
Ini adalah trapesium dengan alas 4 dan 6 pada sumbu x, dan tinggi 2.

Mari kita pakai kembali pembagian segitiga yang menghasilkan 14.
Luas ABC (A(4,7), B(6,2), C(4,0)). Alas AC = 7 (vertikal). Jarak B ke garis $x=4$ adalah 2. Luas = $\frac{1}{2} \times 7 	imes 2 = 7$.
Luas ADC (A(4,7), D(6,0), C(4,0)). Alas CD = 2 (horizontal). Jarak A ke garis $y=0$ adalah 7. Luas = $\frac{1}{2} \times 2 	imes 7 = 7$.
Total luas ABCD = 7 + 7 = 14.

Mari kita periksa metode shoelace lagi. Mungkin urutan titiknya salah atau perhitungannya.
Titik: A(4,7), B(6,2), C(4,0), D(6,0).
Urutan yang benar: C(4,0), D(6,0), B(6,2), A(4,7).
$x_1=4, y_1=0$
$x_2=6, y_2=0$
$x_3=6, y_3=2$
$x_4=4, y_4=7$

$x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 = (4*0) + (6*2) + (6*7) + (4*0) = 0 + 12 + 42 + 0 = 54$.
$y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1 = (0*6) + (0*6) + (2*4) + (7*4) = 0 + 0 + 8 + 28 = 36$.
Luas = $\frac{1}{2}|54 - 36| = \frac{1}{2}|18| = 9$.

Mengapa ada perbedaan? 
Perhatikan bahwa titik A(4,7), C(4,0) membentuk sisi vertikal. Titik B(6,2), D(6,0) membentuk sisi vertikal lain.
Segi empat ABCD adalah sebuah trapesium jika sisi AD sejajar BC, atau sisi AB sejajar CD. Tidak ada yang sejajar.

Ini adalah sebuah trapesium dengan alas sejajar AC dan BD jika diputar. Tapi kita melihatnya dalam koordinat kartesius standar.

Mari kita lihat luasnya dengan cara lain: Luas area di bawah garis AB dikurangi luas area di bawah garis CD. Ini hanya berlaku jika AB dan CD adalah sisi atas dan bawah.

Mari kita gunakan fakta bahwa ABCD adalah trapesium jika kita melihat sisi vertikal AC dan BD sebagai 'kaki' dan CD sebagai 'alas'. Namun, ini bukan definisi trapesium.

Kembali ke pembagian menjadi dua segitiga yang membentuk segi empat ABCD:
Luas ABCD = Luas Segitiga ACD + Luas Segitiga ABC.
Luas Segitiga ADC: alas CD = 2, tinggi = 7. Luas = 7.
Luas Segitiga ABC: alas AC = 7, tinggi = 2 (jarak B ke garis $x=4$). Luas = 7.
Total Luas ABCD = 14.

Periksa kembali metode shoelace. Mungkin titik urutannya perlu diperiksa lagi. 

A(4,7)
B(6,2)
C(4,0)
D(6,0)

Urutan titik harus membentuk poligon tertutup. Misal C -> D -> B -> A -> C.
C(4,0), D(6,0), B(6,2), A(4,7).
Saya sudah melakukannya dan hasilnya 9.

Mari kita gambar titik-titiknya:
C di (4,0), D di (6,0). CD adalah segmen 2 unit di sumbu x.
A di (4,7), tepat di atas C.
B di (6,2), tepat di atas D.

Segi empat yang terbentuk adalah C(4,0), D(6,0), B(6,2), A(4,7).
Sisi CD horizontal.
Sisi AC vertikal.
Sisi BD vertikal.
Sisi AB miring.

Ini adalah sebuah trapesium jika AC sejajar BD, tetapi mereka berbeda posisi x. Ini adalah trapesium jika AD sejajar BC, yang sudah kita cek gradiennya berbeda.

Ini adalah sebuah trapesium dengan alas sejajar vertikal, yaitu sisi AC (panjang 7) dan sisi BD (panjang 2) yang dipisahkan oleh jarak horizontal 2 unit.
Ini adalah trapesium jika kita memutar sumbu koordinat.

Dalam koordinat standar, ini adalah sebuah trapesium dengan sisi CD sebagai alas horizontal, dan sisi AC serta BD sebagai sisi vertikal.
Luas ABCD = Luas trapesium dengan alas AC dan BD, dan tinggi jarak antara C dan D.
Ini adalah sebuah trapesium jika kita membayangkan alasnya adalah sisi yang tegak lurus dengan tinggi. Dalam kasus ini, alasnya bisa CD, dan tingginya adalah jarak vertikal ke A dan B.

Mari kita gunakan definisi trapesium: sebuah segiempat dengan setidaknya satu pasang sisi sejajar.
Dalam ABCD, tidak ada sisi yang sejajar.

Namun, ini bisa dilihat sebagai trapesium yang dibentuk oleh titik (4,0), (6,0), (6,2), (4,2) ditambah segitiga di atasnya.

Jika kita menghitung luas sebagai trapesium dengan sisi sejajar AC dan BD, dengan jarak antara mereka adalah CD=2.
Ini seperti trapesium dengan sisi sejajar vertikal.
Luas = $\frac{1}{2} \times (	ext{jumlah sisi sejajar}) \times \text{tinggi}$
Di sini, sisi sejajar adalah AC dan BD jika kita memutar 90 derajat.

Mari kita gunakan cara membagi menjadi dua bangun.
Luas ABCD = Luas persegi panjang C(4,0) D(6,0) (6,2) (4,2) + Luas segitiga A(4,7) (4,2) (6,2) .
Persegi panjang C D (6,0) (4,2): alas CD = 2, tinggi = 2. Luas = $2 	imes 2 = 4$.
Segitiga di atasnya: titik (4,2), (6,2), (4,7). Alas horizontal dari (4,2) ke (6,2) = 2. Tinggi vertikal dari (4,2) ke (4,7) = 5. Luas = $\frac{1}{2} \times 2 	imes 5 = 5$.
Total Luas ABCD = $4 + 5 = 9$.

Ini sesuai dengan metode shoelace!

Jadi, Luas Segitiga OAC = 14.
Luas Segi Empat ABCD = 9.

Periksa kembali pembagian segitiga yang menghasilkan 14:
Luas ABC: A(4,7), B(6,2), C(4,0). Alas AC vertikal, panjang 7. Jarak B(6,2) ke garis $x=4$ adalah 2. Luas = $\frac{1}{2} 	imes 7 	imes 2 = 7$.
Luas ADC: A(4,7), D(6,0), C(4,0). Alas CD horizontal, panjang 2. Jarak A(4,7) ke garis $y=0$ adalah 7. Luas = $\frac{1}{2} 	imes 2 	imes 7 = 7$.
Total = 14.

Kesalahan pada pembagian segitiga adalah bahwa segitiga ABC dan ADC tidak membentuk segi empat ABCD tanpa tumpang tindih atau celah jika digabungkan dengan cara itu.
Titik C(4,0), D(6,0), B(6,2), A(4,7).
Jika kita ambil alas CD pada sumbu x, tinggi ke A adalah 7, tinggi ke B adalah 2.
Ini adalah sebuah trapesium jika sisi AD sejajar BC.

Luas segi empat ABCD adalah luas trapesium yang dibentuk oleh C, D, dan proyeksi B ke sumbu X (yaitu D) dan proyeksi A ke sumbu X (yaitu C) dengan sisi atas AB.

Luas trapesium dengan sisi sejajar vertikal AC (panjang 7) dan BD (panjang 2), dengan jarak horizontal antara mereka 2.
Jika kita menganggap AC dan BD sebagai sisi sejajar, maka tinggi adalah jarak horizontal antara garis $x=4$ dan $x=6$, yaitu 2.
Luas = $\frac{1}{2} \times (7+2) \times 2 = \frac{1}{2} \times 9 	imes 2 = 9$.

Ini adalah interpretasi yang benar dari segi empat ABCD sebagai trapesium dengan alas vertikal AC dan BD.

Jadi, koordinat C adalah (4,0) dan D adalah (6,0).
Luas segitiga OAC = 14.
Luas segi empat ABCD = 9.