Berikan bahwa titik P(-4,1) terletak pada lingkaran

Titik P(-4,1) terletak pada lingkaran. Persamaan garis singgungnya adalah x + 3y + 1 = 0.

Pembahasan

Untuk menentukan apakah titik P(-4,1) terletak pada lingkaran x^2+y^2+10x+4y+19=0, kita substitusikan koordinat P ke dalam persamaan lingkaran.

Substitusi x = -4 dan y = 1:
(-4)^2 + (1)^2 + 10(-4) + 4(1) + 19
= 16 + 1 - 40 + 4 + 19
= 17 - 40 + 4 + 19
= -23 + 4 + 19
= -19 + 19
= 0

Karena hasil substitusi adalah 0, maka titik P(-4,1) memang terletak pada lingkaran tersebut.

Selanjutnya, kita tentukan persamaan garis singgung di titik P(-4,1).
Persamaan umum lingkaran adalah x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0. Dari persamaan x^2+y^2+10x+4y+19=0, kita dapatkan:
2g = 10 => g = 5
2f = 4 => f = 2
c = 19

Titik P(x1, y1) = (-4, 1).
Rumus persamaan garis singgung lingkaran x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 di titik (x1, y1) adalah:
x*x1 + y*y1 + g(x + x1) + f(y + y1) + c = 0

Substitusikan nilai g=5, f=2, c=19, x1=-4, dan y1=1:
x*(-4) + y*(1) + 5(x + (-4)) + 2(y + 1) + 19 = 0
-4x + y + 5x - 20 + 2y + 2 + 19 = 0
(-4x + 5x) + (y + 2y) + (-20 + 2 + 19) = 0
x + 3y + 1 = 0

Jadi, persamaan garis singgung di titik P(-4,1) adalah x + 3y + 1 = 0.