Nilai x yang memenuhi persamaan trigonometri

Nilai x yang memenuhi adalah 240.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri $2\sin^2(x/4) - 3\cos(x/4) = 0$ untuk $0 \le x \le 360^\circ$, kita dapat menggunakan identitas trigonometri $\sin^2(\theta) = 1 - \cos^2(\theta)$.
1. Substitusikan identitas ke dalam persamaan:
   $2(1 - \cos^2(x/4)) - 3\cos(x/4) = 0$
   $2 - 2\cos^2(x/4) - 3\cos(x/4) = 0$
2. Susun ulang persamaan menjadi bentuk kuadrat dalam $\cos(x/4)$:
   $-2\cos^2(x/4) - 3\cos(x/4) + 2 = 0$
   $2\cos^2(x/4) + 3\cos(x/4) - 2 = 0$
3. Misalkan $u = \cos(x/4)$. Maka persamaan menjadi:
   $2u^2 + 3u - 2 = 0$
4. Faktorkan persamaan kuadrat:
   $(2u - 1)(u + 2) = 0$
5. Selesaikan untuk $u$:
   $2u - 1 = 0 \Rightarrow u = 1/2$
   $u + 2 = 0 \Rightarrow u = -2$
6. Substitusikan kembali $u = \cos(x/4)$:
   $\, \cos(x/4) = 1/2$
   $\, \cos(x/4) = -2$ (tidak ada solusi karena nilai kosinus berada di antara -1 dan 1)
7. Cari nilai $x/4$ ketika $\cos(x/4) = 1/2$. Nilai sudut yang kosinusnya 1/2 adalah $60^\circ$ dan $300^\circ$ dalam satu putaran.
   Jadi, $x/4 = 60^\circ$ atau $x/4 = 300^\circ$ (dalam interval $0^\circ$ hingga $360^\circ$ untuk $x/4$ jika $x$ dari $0^\circ$ hingga $1440^\circ$, tetapi kita hanya perlu mempertimbangkan $x$ hingga $360^\circ$ sehingga $x/4$ hingga $90^\circ$).
   Namun, kita harus mempertimbangkan seluruh rentang $0 \le x \le 360^\circ$, yang berarti $0 \le x/4 \le 90^\circ$. Dalam rentang ini, hanya ada satu nilai untuk $\cos(x/4) = 1/2$, yaitu $x/4 = 60^\circ$.
8. Selesaikan untuk $x$:
   $x/4 = 60^\circ \Rightarrow x = 4 \times 60^\circ = 240^\circ$.
   Perlu diperiksa kembali apakah ada solusi lain dalam rentang $0 \le x \le 360^\circ$. Jika $\cos(x/4) = 1/2$, maka $x/4$ bisa $60^\circ$ atau $360^\circ - 60^\circ = 300^\circ$. Namun, karena $0 \le x \le 360^\circ$, maka $0 \le x/4 \le 90^\circ$. Jadi, satu-satunya solusi untuk $x/4$ adalah $60^\circ$.
   Mari kita pertimbangkan periode fungsi kosinus. Jika $\cos(\theta) = 1/2$, maka $\theta = \pm 60^\circ + k \cdot 360^\circ$. Jadi, $x/4 = 60^\circ + k \cdot 360^\circ$ atau $x/4 = -60^\circ + k \cdot 360^\circ$.
   Untuk $x/4 = 60^\circ + k \cdot 360^\circ$: Jika $k=0$, $x/4 = 60^\circ \Rightarrow x = 240^\circ$. Jika $k=1$, $x/4 = 420^\circ \Rightarrow x = 1680^\circ$ (di luar rentang).
   Untuk $x/4 = -60^\circ + k \cdot 360^\circ$: Jika $k=1$, $x/4 = 300^\circ \Rightarrow x = 1200^\circ$ (di luar rentang).
   Pemeriksaan tambahan: karena persamaan melibatkan $\sin^2(x/4)$ dan $\cos(x/4)$, kita perlu memastikan bahwa nilai $x/4$ tidak menyebabkan $\cos(x/4)$ menjadi tak terdefinisi, yang mana tidak terjadi di sini.
   Kita juga perlu memeriksa solusi untuk $x$ dalam rentang $0 \le x \le 360^\circ$. Dengan $x/4 = 60^\circ$, kita mendapatkan $x = 240^\circ$. Untuk $x=240^\circ$, $x/4 = 60^\circ$. $2\sin^2(60^\circ) - 3\cos(60^\circ) = 2( \sqrt{3}/2 )^2 - 3(1/2) = 2(3/4) - 3/2 = 3/2 - 3/2 = 0$. Jadi, $x=240^\circ$ adalah solusi.
   Ada kemungkinan kita melewatkan solusi lain. Mari kita pikirkan kembali interval $x/4$. Karena $0 \le x \le 360^\circ$, maka $0 \le x/4 \le 90^\circ$. Dalam interval ini, $\cos(x/4) = 1/2$ hanya untuk $x/4 = 60^\circ$. Maka $x = 240^\circ$.