Nilai x yang memenuhi pertaksamaan (x+1)/(x+1)>x/(x-1)

Nilai x yang memenuhi adalah x < 1 dan x ≠ -1, atau dalam notasi interval (-∞, -1) U (-1, 1).

Pembahasan

Kita perlu mencari nilai x yang memenuhi pertidaksamaan:
(x+1)/(x+1) > x/(x-1)

Perhatikan bahwa sisi kiri pertidaksamaan, (x+1)/(x+1), bernilai 1 selama x bukan -1. Jika x = -1, maka penyebutnya menjadi nol, yang membuat ekspresi tidak terdefinisi.

Kasus 1: x ≠ -1
Dalam kasus ini, (x+1)/(x+1) = 1. Maka pertidaksamaannya menjadi:
1 > x/(x-1)

Kurangi kedua sisi dengan 1:
0 > x/(x-1) - 1
0 > x/(x-1) - (x-1)/(x-1)
0 > (x - (x-1)) / (x-1)
0 > (x - x + 1) / (x-1)
0 > 1 / (x-1)

Agar 1 / (x-1) menjadi negatif (lebih kecil dari 0), penyebutnya harus negatif, karena pembilangnya positif (1).
Jadi, kita perlu:
x - 1 < 0
x < 1

Kita juga memiliki syarat awal bahwa x ≠ -1.
Jadi, solusi untuk kasus ini adalah x < 1 dan x ≠ -1.
Ini bisa ditulis sebagai selang (-∞, -1) U (-1, 1).

Kita perlu memeriksa kembali apakah ada nilai x yang membuat penyebutnya nol dalam pertidaksamaan asli. Penyebutnya adalah (x+1) dan (x-1). Jadi x ≠ -1 dan x ≠ 1.

Kondisi x < 1 sudah mencakup x ≠ 1.
Namun, kita harus mengecualikan x = -1.

Jadi, nilai x yang memenuhi pertidaksamaan adalah semua x sedemikian rupa sehingga x < 1 dan x ≠ -1.
Ini dapat dinyatakan sebagai gabungan interval (-∞, -1) U (-1, 1).

Ini berarti bahwa semua bilangan real kurang dari 1, kecuali -1, memenuhi pertidaksamaan tersebut.