Hitunglah setiap limit berikut ini.lim x->0 (( tan

Nilai limitnya adalah -1/3.

Pembahasan

Untuk menghitung limit  lim x->0 (( tan x)/(x^2-3x)), kita dapat melakukan substitusi langsung. Namun, jika menghasilkan bentuk tak tentu (0/0), kita perlu menggunakan teknik lain seperti faktorisasi atau aturan L'Hopital.

Substitusi x = 0:
tan(0) = 0
0^2 - 3(0) = 0

Hasilnya adalah bentuk tak tentu 0/0. Oleh karena itu, kita gunakan aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar.

Metode 1: Aturan L'Hopital
Turunkan pembilang dan penyebut:
Turunan tan(x) adalah sec^2(x)
Turunan (x^2 - 3x) adalah 2x - 3

Maka limitnya menjadi:
lim x->0 (sec^2(x) / (2x - 3))
Substitusi x = 0:
sec^2(0) = (1/cos(0))^2 = (1/1)^2 = 1
2(0) - 3 = -3

Hasilnya adalah 1 / -3 = -1/3.

Metode 2: Manipulasi Aljabar
lim x->0 (( tan x)/(x^2-3x))
Kita tahu tan x = sin x / cos x.
lim x->0 ((sin x / cos x) / (x(x - 3)))
lim x->0 (sin x / (cos x * x * (x - 3)))
Kita bisa memisahkan bagian yang kita tahu limitnya:
lim x->0 (sin x / x) * lim x->0 (1 / (cos x * (x - 3)))
Kita tahu lim x->0 (sin x / x) = 1.

Maka limitnya menjadi:
1 * lim x->0 (1 / (cos x * (x - 3)))
Substitusi x = 0:
1 / (cos(0) * (0 - 3))
1 / (1 * (-3))
1 / -3 = -1/3.

Jadi, nilai limitnya adalah -1/3.