Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 4 log (x^2+2)<=4 log

Nilai x yang memenuhi adalah \(1 \le x \le 3\).

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma \(4 \log (x^2+2) \le 4 \log (4x-1)\), kita perlu memperhatikan dua hal utama:

1.  **Syarat numerus (argumen logaritma):** Numerus dari logaritma harus selalu positif.
    *   \(x^2+2 > 0\): Karena \(x^2\) selalu non-negatif, maka \(x^2+2\) selalu positif untuk semua nilai x real. Jadi, syarat ini tidak memberikan batasan tambahan.
    *   \(4x-1 > 0\): Ini memberikan syarat \(4x > 1\), sehingga \(x > \frac{1}{4}\).

2.  **Sifat logaritma:** Karena basis logaritma (yaitu 4) lebih besar dari 1, maka pertidaksamaan logaritma dapat disederhanakan menjadi pertidaksamaan numerus:
    \(x^2+2 \le 4x-1\)

Sekarang, kita selesaikan pertidaksamaan kuadrat tersebut:
\(x^2 - 4x + 2 + 1 \le 0\)
\(x^2 - 4x + 3 \le 0\)

Untuk menyelesaikan \(x^2 - 4x + 3 \le 0\), kita cari akar-akar persamaan kuadrat \(x^2 - 4x + 3 = 0\) dengan cara memfaktorkan:
\((x-1)(x-3) = 0\)
Jadi, akar-akarnya adalah \(x=1\) dan \(x=3\).

Pertidaksamaan kuadrat \((x-1)(x-3) \le 0\) dipenuhi pada interval di mana nilai x berada di antara akar-akarnya (inklusif karena tanda \(\le\)). Jadi, \(1 \le x \le 3\).

Terakhir, kita gabungkan hasil dari syarat numerus dan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat:
*   Syarat numerus: \(x > \frac{1}{4}\)
*   Penyelesaian pertidaksamaan: \(1 \le x \le 3\)

Irisan dari kedua kondisi ini adalah \(1 \le x \le 3\).

Jadi, nilai x yang memenuhi pertidaksamaan tersebut adalah \(1 \le x \le 3\).