Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 9^2x-10.9^x+9>0, x e R

x < log9(45 - 18√6) atau x > log9(45 + 18√6)

Pembahasan

Pertidaksamaan yang diberikan adalah 9^(2x-1) - 10 * 9^x + 9 > 0.
Misalkan y = 9^x. Maka persamaan dapat ditulis ulang sebagai:
(9^(2x) / 9^1) - 10 * 9^x + 9 > 0
( (9^x)^2 / 9 ) - 10 * 9^x + 9 > 0
(y^2 / 9) - 10y + 9 > 0
Kalikan seluruh pertidaksamaan dengan 9 untuk menghilangkan penyebut:
y^2 - 90y + 81 > 0
Kita perlu mencari akar-akar dari persamaan kuadrat y^2 - 90y + 81 = 0. Kita dapat menggunakan rumus kuadratik: y = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
Di sini, a = 1, b = -90, c = 81.
y = [90 ± sqrt((-90)^2 - 4 * 1 * 81)] / 2 * 1
y = [90 ± sqrt(8100 - 324)] / 2
y = [90 ± sqrt(7776)] / 2
sqrt(7776) = sqrt(1296 * 6) = 36 * sqrt(6)
y = [90 ± 36*sqrt(6)] / 2
y = 45 ± 18*sqrt(6)
Jadi, akar-akarnya adalah y1 = 45 - 18*sqrt(6) dan y2 = 45 + 18*sqrt(6).
Karena pertidaksamaan adalah y^2 - 90y + 81 > 0, maka solusinya adalah y < 45 - 18*sqrt(6) atau y > 45 + 18*sqrt(6).
Sekarang kita substitusikan kembali y = 9^x:
9^x < 45 - 18*sqrt(6) atau 9^x > 45 + 18*sqrt(6).
Karena 9^x selalu positif, kita perlu memeriksa nilai 45 - 18*sqrt(6). Nilai sqrt(6) kira-kira 2.45.
45 - 18 * 2.45 = 45 - 44.1 = 0.9.
Jadi, 9^x < 0.9 atau 9^x > 89.1 (kira-kira).
Untuk 9^x < 0.9:
x < log9(0.9)
Untuk 9^x > 89.1:
x > log9(89.1)
Karena log9(0.9) negatif dan log9(89.1) positif, kita bisa menyatakannya sebagai:
x < log9(45 - 18*sqrt(6)) atau x > log9(45 + 18*sqrt(6)).
Perlu diingat bahwa log9(y) = log(y) / log(9).
Nilai numerik:
log9(45 - 18*sqrt(6)) ≈ log9(0.9) ≈ -0.0457
log9(45 + 18*sqrt(6)) ≈ log9(89.1) ≈ 2.087
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x < -0.0457 atau x > 2.087 (nilai perkiraan).
Dalam bentuk logaritma: x < log9(45 - 18√6) atau x > log9(45 + 18√6).