3x^4+4x^3+x-1=0 mempunyai ....

Persamaan 3x⁴+4x³+x-1=0 mempunyai dua akar riil dan dua akar kompleks konjugat.

Pembahasan

Untuk mengetahui sifat-sifat dari persamaan \(3x^4 + 4x^3 + x - 1 = 0\), kita bisa menggunakan Teorema Sisa dan Teorema Faktor, serta analisis turunan untuk mengetahui jumlah akar riil dan kompleksnya.

Persamaan ini adalah polinomial derajat 4.

1.  **Koefisien dan Suku Konstan:**
    *   Koefisien \(x^4\) adalah 3.
    *   Koefisien \(x^3\) adalah 4.
    *   Koefisien \(x^2\) adalah 0.
    *   Koefisien \(x\) adalah 1.
    *   Suku konstan adalah -1.

2.  **Jumlah Akar:** Menurut Teorema Vieta, untuk persamaan polinomial derajat \(n\), yaitu \(a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0\), jumlah akarnya adalah \(-\frac{a_{n-1}}{a_n}\).
    *   Untuk \(3x^4 + 4x^3 + 0x^2 + x - 1 = 0\), jumlah akar \(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -\frac{4}{3}\).

3.  **Hasil Kali Akar:** Hasil kali akar-akarnya adalah \(\frac{(-1)^n a_0}{a_n}\).
    *   Untuk persamaan ini, hasil kali akar \(x_1 x_2 x_3 x_4 = \frac{(-1)^4 (-1)}{3} = \frac{1 \times (-1)}{3} = -\frac{1}{3}\).

4.  **Analisis Akar Riil dan Kompleks (Menggunakan Turunan):**
    Misalkan \(f(x) = 3x^4 + 4x^3 + x - 1\).
    Turunan pertama: \(f'(x) = 12x^3 + 12x^2 + 1\).
    Turunan kedua: \(f''(x) = 36x^2 + 24x = 12x(3x + 2)\).
    Titik belok terjadi saat \(f''(x) = 0\), yaitu di \(x = 0\) dan \(x = -2/3\).

    Sekarang kita cari nilai \(f'(x)\) di titik kritisnya:
    *   Di \(x = 0\), \(f'(0) = 12(0)^3 + 12(0)^2 + 1 = 1\).
    *   Di \(x = -2/3\), \(f'(-2/3) = 12(-2/3)^3 + 12(-2/3)^2 + 1 = 12(-8/27) + 12(4/9) + 1 = -96/27 + 48/9 + 1 = -32/9 + 48/9 + 9/9 = (48 - 32 + 9)/9 = 25/9\).
    Karena \(f'(x)\) tidak pernah nol untuk nilai \(x\) riil (karena nilai minimumnya positif, kita perlu analisis lebih lanjut turunan ketiga untuk memastikan sifat \(f'(x)\)), ini menunjukkan bahwa \(f(x)\) memiliki paling banyak dua akar riil.

    Lebih lanjut, karena \(f'(x) = 12x^3 + 12x^2 + 1\), kita bisa lihat bahwa:
    *   Saat \(x \to \infty\), \(f'(x) \to \infty\).
    *   Saat \(x \to -\infty\), \(f'(x) \to -\infty\).
    Ini berarti \(f'(x)\) akan memotong sumbu x setidaknya satu kali, sehingga \(f(x)\) memiliki setidaknya satu titik kritis (minimum atau maksimum lokal).
    Karena \(f''(x)\) memiliki dua akar riil, \(f'(x)\) memiliki dua titik belok, yang bisa berarti \(f'(x)\) memotong sumbu x satu atau tiga kali. Dari perhitungan kita, \(f'(x)\) tidak memotong sumbu x (semua nilai positif atau negatif yang besar).
    Mari kita cek \(f'(x)\) lagi. \(f''(x) = 12x(3x+2)\). Nilai minimum \(f'(x)\) terjadi di antara \(x=-2/3\) dan \(x=0\) jika \(f'(x)\) punya maksimum lokal di \(x=-2/3\) dan minimum lokal di \(x=0\). Namun \(f'(x)\) adalah polinomial derajat 3.
    Untuk \(f'(x) = 12x^3 + 12x^2 + 1\), turunan keduanya adalah \(f''(x) = 36x^2 + 24x\). Akar \(f''(x)\) adalah \(x=0\) dan \(x=-2/3\).
    *   \(f'(0) = 1\)
    *   \(f'(-2/3) = 25/9\)
    Karena \(f'(x)\) bernilai positif di kedua titik kritisnya, ini menyiratkan bahwa \(f'(x)\) selalu positif atau memiliki hanya satu akar riil.
    Jika \(f'(x)\) hanya punya satu akar riil, maka \(f(x)\) hanya punya satu titik ekstrem (minimum). Jika \(f'(x)\) selalu positif, maka \(f(x)\) monoton naik.
    Mari kita evaluasi \(f(x)\) di beberapa titik:
    *   \(f(0) = -1\)
    *   \(f(1) = 3 + 4 + 1 - 1 = 7\) (Ada akar antara 0 dan 1)
    *   \(f(-1) = 3(-1)^4 + 4(-1)^3 + (-1) - 1 = 3 - 4 - 1 - 1 = -3\)
    *   \(f(-2) = 3(-2)^4 + 4(-2)^3 + (-2) - 1 = 3(16) + 4(-8) - 2 - 1 = 48 - 32 - 3 = 13\) (Ada akar antara -1 dan -2)
    *   \(f(-1.5) = 3(-1.5)^4 + 4(-1.5)^3 + (-1.5) - 1 = 3(5.0625) + 4(-3.375) - 1.5 - 1 = 15.1875 - 13.5 - 2.5 = -1.8125\) (Ada akar antara -1.5 dan -2)

    Karena \(f(x) \to \infty\) saat \(x \to \pm \infty\) dan \(f(0) = -1\), serta \(f'(x)\) tampaknya selalu positif atau hanya memiliki satu akar riil, fungsi \(f(x)\) memiliki bentuk seperti parabola yang terbuka ke atas tetapi dengan dua lekukan. Analisis turunan kedua menunjukkan titik belok, bukan titik ekstrem untuk \(f'(x)\) yang mengindikasikan bentuk \(f(x)\) yang lebih kompleks.

    Kemungkinan paling umum untuk polinomial derajat 4 dengan koefisien positif pada \(x^4\) dan tidak semua akar riil adalah memiliki 2 akar riil dan 2 akar kompleks konjugat, atau 4 akar riil.
    Berdasarkan evaluasi nilai \(f(x)\) di beberapa titik, kita menemukan setidaknya dua akar riil (satu antara 0 dan 1, satu antara -1.5 dan -2). Karena \(f'(x)\) tidak pernah nol (nilai minimum \(f'(x)\) adalah positif), maka \(f(x)\) hanya memiliki satu minimum lokal.
    Ini menyiratkan bahwa grafik \(f(x)\) hanya memotong sumbu x di dua titik.

    Jadi, persamaan \(3x^4 + 4x^3 + x - 1 = 0\) mempunyai:
    *   Dua akar riil.
    *   Dua akar kompleks konjugat.
    *   Jumlah akar adalah \(-\frac{4}{3}\).
    *   Hasil kali akar adalah \(-\frac{1}{3}\).
    *   Memiliki titik belok.