Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan akar(x^2-2x)<2 akar(2)

-2 < x ≤ 0 atau 2 ≤ x < 4

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan akar(x^2 - 2x) < 2 * akar(2), kita perlu mengkuadratkan kedua sisi pertidaksamaan untuk menghilangkan akar kuadrat. Namun, sebelum itu, kita harus memastikan bahwa ekspresi di dalam akar kuadrat tidak negatif (syarat numerik).

Syarat Numerik:
x^2 - 2x ≥ 0
x(x - 2) ≥ 0
Ini berarti x ≤ 0 atau x ≥ 2.

Sekarang, kuadratkan kedua sisi pertidaksamaan:
(akar(x^2 - 2x))^2 < (2 * akar(2))^2
x^2 - 2x < 4 * 2
x^2 - 2x < 8

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk pertidaksamaan kuadrat:
x^2 - 2x - 8 < 0

Faktorkan ekspresi kuadrat tersebut:
Cari dua angka yang jika dikalikan menghasilkan -8 dan jika dijumlahkan menghasilkan -2. Angka-angka tersebut adalah -4 dan 2.
Jadi, faktornya adalah (x - 4)(x + 2).

Pertidaksamaan menjadi: (x - 4)(x + 2) < 0

Untuk menemukan nilai x yang memenuhi, kita tentukan titik kritisnya, yaitu saat (x - 4)(x + 2) = 0. Titik kritisnya adalah x = 4 dan x = -2.

Kita uji interval yang dibentuk oleh titik-titik kritis ini:
1. Interval x < -2: Pilih x = -3. (-3 - 4)(-3 + 2) = (-7)(-1) = 7. 7 < 0 (Salah).
2. Interval -2 < x < 4: Pilih x = 0. (0 - 4)(0 + 2) = (-4)(2) = -8. -8 < 0 (Benar).
3. Interval x > 4: Pilih x = 5. (5 - 4)(5 + 2) = (1)(7) = 7. 7 < 0 (Salah).

Jadi, solusi sementara dari pertidaksamaan kuadrat adalah -2 < x < 4.

Sekarang, kita harus menggabungkan solusi ini dengan syarat numerik (x ≤ 0 atau x ≥ 2).
Kita cari irisan dari (-2, 4) dengan (-∞, 0] ∪ [2, ∞).

Irisan dari (-2, 4) dan x ≤ 0 adalah -2 < x ≤ 0.
Irisan dari (-2, 4) dan x ≥ 2 adalah 2 ≤ x < 4.

Jadi, nilai x yang memenuhi pertidaksamaan adalah gabungan dari kedua interval tersebut: -2 < x ≤ 0 atau 2 ≤ x < 4.