Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan |x^2-x|/(x-1)> 0

Nilai x yang memenuhi adalah x > 1

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan |x^2 - x| / (x - 1) > 0, kita perlu mempertimbangkan beberapa kasus:

Pertama, kita bisa menyederhanakan ekspresi di dalam nilai mutlak:
x^2 - x = x(x - 1).
Jadi, pertidaksamaan menjadi |x(x - 1)| / (x - 1) > 0.

Kita tahu bahwa |x(x - 1)| selalu non-negatif. Agar seluruh ekspresi lebih besar dari 0, pembilang dan penyebut harus memiliki tanda yang sama, dan penyebut tidak boleh nol.

Kasus 1: Pembilang positif dan penyebut positif.
|x(x - 1)| > 0 dan x - 1 > 0.
|x(x - 1)| > 0 berarti x(x - 1) ≠ 0, jadi x ≠ 0 dan x ≠ 1.
x - 1 > 0 berarti x > 1.
Menggabungkan kedua kondisi ini, kita mendapatkan x > 1.

Kasus 2: Pembilang negatif dan penyebut negatif.
|x(x - 1)| < 0 dan x - 1 < 0.
Nilai mutlak tidak pernah negatif, jadi |x(x - 1)| < 0 tidak mungkin terjadi.

Alternatif lain, kita bisa memecah berdasarkan definisi nilai mutlak:

Sub-kasus 1: x^2 - x ≥ 0
Ini terjadi ketika x ≤ 0 atau x ≥ 1.
Dalam kasus ini, |x^2 - x| = x^2 - x = x(x - 1).
Pertidaksamaan menjadi: x(x - 1) / (x - 1) > 0.
Jika x ≠ 1, kita bisa menyederhanakan menjadi x > 0.
Menggabungkan dengan kondisi x ≤ 0 atau x ≥ 1:
- Dari x ≤ 0 dan x > 0, tidak ada solusi.
- Dari x ≥ 1 dan x > 0, kita mendapatkan x ≥ 1. Namun, karena penyebut tidak boleh nol, x ≠ 1, sehingga solusi dari sub-kasus ini adalah x > 1.

Sub-kasus 2: x^2 - x < 0
Ini terjadi ketika 0 < x < 1.
Dalam kasus ini, |x^2 - x| = -(x^2 - x) = -x(x - 1).
Pertidaksamaan menjadi: -x(x - 1) / (x - 1) > 0.
Jika x ≠ 1, kita bisa menyederhanakan menjadi -x > 0, yang berarti x < 0.
Menggabungkan dengan kondisi 0 < x < 1:
Dari 0 < x < 1 dan x < 0, tidak ada solusi.

Jadi, satu-satunya solusi yang memenuhi adalah x > 1.