Nilai x yang memenuhi (x^2+3x-10)/(2x^2+11x+5) <=0

Nilai x yang memenuhi adalah -1/2 < x <= 2.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan \\(\\(x^2+3x-10)/(2x^2+11x+5) <=0\\), kita perlu mencari akar-akar dari pembilang dan penyebutnya terlebih dahulu.

Pembilang: \\(x^2+3x-10 = 0\\)
Dengan memfaktorkan, kita dapatkan \\((x+5)(x-2)=0\\).
Jadi, akar-akarnya adalah \\(x = -5\\) dan \\(x = 2\\).

Penyebut: \\(2x^2+11x+5 = 0\\)
Dengan memfaktorkan, kita dapatkan \\((2x+1)(x+5)=0\\).
Jadi, akar-akarnya adalah \\(x = -1/2\\) dan \\(x = -5\\).

Penting untuk dicatat bahwa penyebut tidak boleh nol, sehingga \\(x \\neq -1/2\\) dan \\(x \\neq -5\\).

Sekarang kita memiliki akar-akar: -5, -1/2, dan 2. Kita perlu menguji interval yang dibentuk oleh akar-akar ini pada garis bilangan.

Interval yang perlu diuji adalah: \\((-\\infty, -5)\\, (-5, -1/2)\\, (-1/2, 2)\\, (2, \\infty)\\).

Kita uji satu nilai dari setiap interval ke dalam pertidaksamaan asli:
1. Interval \\((-\\infty, -5)\\): Ambil \\(x = -6\\).
   \\((-6)^2+3(-6)-10)/(2(-6)^2+11(-6)+5) = (36-18-10)/(72-66+5) = 8/11 > 0\\.
2. Interval \\((-5, -1/2)\\): Ambil \\(x = -1\\).
   \\((-1)^2+3(-1)-10)/(2(-1)^2+11(-1)+5) = (1-3-10)/(2-11+5) = -12/(-4) = 3 > 0\\.
3. Interval \\((-1/2, 2)\\): Ambil \\(x = 0\\).
   \\(0^2+3(0)-10)/(2(0)^2+11(0)+5) = -10/5 = -2 <= 0\\.
4. Interval \\((2, \\infty)\\): Ambil \\(x = 3\\).
   \\(3^2+3(3)-10)/(2(3)^2+11(3)+5) = (9+9-10)/(18+33+5) = 8/56 = 1/7 > 0\\.

Pertidaksamaan \\(<=0\\) terpenuhi pada interval \\((-1/2, 2)\\).
Karena pembilang bisa nol (yaitu pada \\(x = -5\\) dan \\(x = 2\\)), maka \\(x = 2\\) termasuk dalam solusi. Namun, \\(x = -5\\) tidak termasuk karena membuat penyebut menjadi nol.

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah \\(-1/2 < x <= 2\\).