Nilai x yang merupakan titik belok dari f(x)=sin(x)+cos(x)

3π/4

Pembahasan

Untuk mencari titik belok dari fungsi f(x) = sin(x) + cos(x), kita perlu mencari turunan kedua dari fungsi tersebut dan menentukan kapan turunan kedua bernilai nol atau tidak terdefinisi.

1.  Cari turunan pertama (f'(x)):
f'(x) = d/dx (sin(x) + cos(x))
f'(x) = cos(x) - sin(x)

2.  Cari turunan kedua (f''(x)):
f''(x) = d/dx (cos(x) - sin(x))
f''(x) = -sin(x) - cos(x)

3.  Tentukan kapan f''(x) = 0:
-sin(x) - cos(x) = 0
-sin(x) = cos(x)

Bagi kedua sisi dengan cos(x) (dengan asumsi cos(x) ≠ 0):
-sin(x) / cos(x) = 1
-tan(x) = 1
tan(x) = -1

Nilai x di mana tan(x) = -1 dalam interval [0, 2π) adalah:
x = 3π/4 dan x = 7π/4

Kita juga perlu memeriksa apakah turunan kedua tidak terdefinisi, tetapi sin(x) dan cos(x) terdefinisi untuk semua nilai x real.

Namun, perlu diperiksa apakah titik-titik ini benar-benar merupakan titik belok. Titik belok terjadi jika turunan kedua berubah tanda di sekitar titik tersebut. Untuk f(x) = sin(x) + cos(x), turunan keduanya adalah f''(x) = -sin(x) - cos(x). Kita perlu menguji tanda f''(x) di sekitar x = 3π/4 dan x = 7π/4.

Misalnya, untuk x = 3π/4:
Jika x sedikit lebih kecil dari 3π/4 (misal 2π/3), f''(x) = -sin(2π/3) - cos(2π/3) = - (√3/2) - (-1/2) = (1-√3)/2 < 0.
Jika x sedikit lebih besar dari 3π/4 (misal π), f''(x) = -sin(π) - cos(π) = -0 - (-1) = 1 > 0.
Karena f''(x) berubah tanda dari negatif ke positif di x = 3π/4, maka x = 3π/4 adalah titik belok.

Untuk x = 7π/4:
Jika x sedikit lebih kecil dari 7π/4 (misal 5π/3), f''(x) = -sin(5π/3) - cos(5π/3) = - (-√3/2) - (1/2) = (√3-1)/2 > 0.
Jika x sedikit lebih besar dari 7π/4 (misal 2π), f''(x) = -sin(2π) - cos(2π) = -0 - 1 = -1 < 0.
Karena f''(x) berubah tanda dari positif ke negatif di x = 7π/4, maka x = 7π/4 adalah titik belok.

Dalam konteks soal yang biasanya menanyakan salah satu nilai atau nilai dalam interval tertentu, biasanya nilai yang paling umum atau nilai pertama yang ditemukan adalah jawabannya. Jika soal tidak memberikan interval spesifik, maka x = 3π/4 adalah salah satu titik beloknya.

Metadata:
*   Grades: 11, 12
*   Chapters: 6, 7
*   Topics: Kalkulus, Turunan Fungsi, Titik Belok
*   Sections: Penerapan Turunan, Analisis Fungsi
*   Type: QnA