Kelas 11Kelas 10Kelas 12mathKombinatorik
Nine chairs in a row are to be occupied by six students and
Pertanyaan
Berapa banyak cara para profesor Alpha, Beta, dan Gamma dapat memilih kursi mereka sehingga setiap profesor berada di antara dua siswa?
Solusi
Verified
151.200
Pembahasan
Masalah ini adalah masalah permutasi yang melibatkan kendala. Sembilan kursi berjajar, dan enam siswa serta tiga profesor (Alpha, Beta, Gamma) akan menempatinya. Tiga profesor datang lebih dulu dan memilih kursi mereka sehingga setiap profesor berada di antara dua siswa. Karena para profesor datang lebih dulu, kita perlu menentukan tempat duduk mereka terlebih dahulu, lalu sisanya akan diisi oleh para siswa. Agar setiap profesor berada di antara dua siswa, susunan tempat duduk harus memiliki pola seperti ini: S P S P S P S S S, di mana S mewakili siswa dan P mewakili profesor. Mengingat ada tiga profesor, mereka akan menempati tiga kursi yang dipisahkan oleh setidaknya satu kursi kosong yang akan ditempati oleh siswa. Karena mereka adalah satu-satunya yang memilih kursi terlebih dahulu dan harus berada di antara siswa, mereka harus menempati kursi 2, 4, dan 6, atau kursi 3, 5, dan 7, dst. Namun, karena kita hanya perlu memastikan mereka berada di antara siswa, kita bisa menganggap tiga kursi yang dipilih profesor sebagai blok yang harus diapit oleh siswa. Dengan hanya tiga profesor, pola yang paling mungkin adalah: P S P S P. Namun, karena ada 9 kursi dan hanya 3 profesor, dan mereka harus diapit oleh siswa, ini berarti akan ada minimal 2 siswa di antara profesor (jika mereka duduk bersebelahan, yaitu S P S P S), atau lebih banyak siswa di antara mereka jika mereka berjauhan. Mari kita pikirkan urutan kursi yang mungkin untuk para profesor agar masing-masing berada di antara dua siswa. Dengan 9 kursi, dan 3 profesor, kita perlu memilih 3 kursi untuk profesor sehingga setiap kursi profesor memiliki kursi yang ditempati siswa di kedua sisi. Ini berarti tidak ada dua profesor yang boleh duduk bersebelahan, dan juga tidak boleh ada profesor yang duduk di ujung barisan (kursi 1 atau 9) karena mereka membutuhkan siswa di kedua sisinya. Jadi, profesor tidak bisa duduk di kursi 1 atau 9. Mereka juga tidak bisa duduk di kursi yang berdekatan. Misalkan kursi yang ditempati profesor adalah $c_1, c_2, c_3$ dengan $1 < c_1 < c_2 < c_3 < 9$. Agar setiap profesor berada di antara dua siswa, maka $c_2$ harus diapit oleh siswa, $c_1$ harus diapit oleh siswa, dan $c_3$ harus diapit oleh siswa. Ini berarti kursi $c_1-1$ dan $c_1+1$ harus ditempati oleh siswa, kursi $c_2-1$ dan $c_2+1$ harus ditempati oleh siswa, dan kursi $c_3-1$ dan $c_3+1$ harus ditempati oleh siswa. Ini menyiratkan bahwa pola tempat duduk profesor harus seperti S P S P S P S. Dalam kasus ini, profesor menempati kursi ke-2, ke-4, dan ke-6. Ada 3! cara untuk mengatur profesor Alpha, Beta, dan Gamma di kursi ini. Sisa 6 kursi akan ditempati oleh 6 siswa. Ada 6! cara untuk mengatur siswa di kursi yang tersisa. Namun, ini hanya satu konfigurasi. Perhatikan bahwa para profesor dapat memilih kursi mereka sehingga mereka berada di antara siswa. Ini berarti ada siswa di kedua sisi setiap profesor. Ini dapat dicapai jika para profesor tidak duduk di ujung dan tidak ada dua profesor yang duduk berdampingan. Mari kita pertimbangkan penempatan para profesor terlebih dahulu. Kita perlu memilih 3 kursi dari 9 kursi sehingga tidak ada dua kursi yang berdekatan dan tidak ada kursi di ujung yang dipilih. Ini adalah masalah klasik penempatan objek dengan batasan. Jika kita memilih 3 kursi untuk profesor, maka kursi di antara mereka dan di luar mereka (jika mereka tidak di ujung) harus ditempati oleh siswa. Cara yang lebih mudah adalah memikirkan penempatan relatif profesor terlebih dahulu. Urutan profesor Alpha, Beta, Gamma dapat diatur dalam 3! cara. Sekarang, kita perlu menempatkan mereka di kursi sehingga ada siswa di antara mereka. Mari kita anggap siswa sebagai pemisah. Kita memiliki 6 siswa (S) dan 3 profesor (P). Agar setiap profesor diapit oleh siswa, kita dapat membayangkan struktur seperti: S P S P S P S. Ini menggunakan 3 profesor dan 4 siswa. Sisa 2 siswa dapat ditempatkan di mana saja di antara atau di sekitar kelompok ini. Namun, cara termudah adalah menganggap bahwa profesor memilih kursi mereka terlebih dahulu. Agar setiap profesor berada di antara dua siswa, mereka harus menempati kursi yang tidak berdekatan, dan tidak di kursi paling ujung. Jadi, profesor tidak bisa di kursi 1 atau 9. Mereka juga tidak bisa di kursi (2,3), (3,4), ..., (8,9). Misalkan kursi profesor adalah P1, P2, P3. Agar setiap P diapit oleh S, maka P tidak boleh berdekatan, dan tidak boleh di ujung. Kondisi: S P S P S P S S S (ini adalah salah satu kemungkinan urutan, tapi bukan cara menghitung). Mari kita fokus pada pemilihan kursi untuk 3 profesor. Pilih 3 kursi dari 9 kursi sehingga tidak ada dua yang berdekatan dan tidak ada yang di ujung. Misalkan kursi yang dipilih adalah $x_1, x_2, x_3$ dengan $1 < x_1 < x_2 < x_3 < 9$ dan $x_{i+1} - x_i eq 1$. Ini adalah masalah kombinasi dengan pengulangan atau metode bintang dan batang. Cara lain: Pertimbangkan 6 siswa sebagai pembatas. Mereka menciptakan 7 ruang potensial untuk menempatkan profesor: _ S _ S _ S _ S _ S _ S _ Kita perlu memilih 3 dari 7 ruang ini untuk menempatkan profesor. Ini akan memastikan setiap profesor berada di antara siswa. Jumlah cara memilih 3 ruang dari 7 adalah C(7, 3). C(7, 3) = 7! / (3! * (7-3)!) = 7! / (3! * 4!) = (7 * 6 * 5) / (3 * 2 * 1) = 35. Setelah 3 kursi dipilih untuk para profesor, ada 3! cara untuk menempatkan profesor Alpha, Beta, dan Gamma di kursi tersebut. Sisanya adalah 6 kursi yang akan ditempati oleh 6 siswa. Ada 6! cara untuk menempatkan siswa di kursi yang tersisa. Jadi, jumlah total cara adalah C(7, 3) * 3! * 6!. C(7, 3) = 35 3! = 6 6! = 720 Total cara = 35 * 6 * 720 = 210 * 720 = 151.200. Jawaban Ringkas: Ada 151.200 cara.
Topik: Permutasi Dan Kombinasi
Section: Prinsip Dasar Menghitung, Permutasi Dengan Kendala
Apakah jawaban ini membantu?