P pada bidang ABFE Q pada bidang BCGF R pada bidang DCGH

Segitiga

Pembahasan

Untuk menentukan irisan bidang PQR pada kubus ABCD.EFGH, kita perlu memvisualisasikan posisi titik P, Q, dan R pada bidang-bidang yang disebutkan dan kemudian menghubungkan titik-titik tersebut untuk membentuk sebuah bidang datar.

Asumsikan kubus memiliki titik sudut:
A=(0,0,0), B=(s,0,0), C=(s,s,0), D=(0,s,0)
E=(0,0,s), F=(s,0,s), G=(s,s,s), H=(0,s,s), di mana 's' adalah panjang rusuk kubus.

- Titik P berada pada bidang ABFE. Misalkan P adalah titik tengah rusuk BF. Maka koordinat P adalah (s, 0, s/2).
- Titik Q berada pada bidang BCGF. Misalkan Q adalah titik tengah rusuk CG. Maka koordinat Q adalah (s, s, s/2).
- Titik R berada pada bidang DCGH. Misalkan R adalah titik tengah rusuk DH. Maka koordinat R adalah (0, s, s/2).

Sekarang kita hubungkan titik P, Q, dan R. Ketiga titik ini terletak pada ketinggian z = s/2, yang berarti mereka berada pada bidang horizontal yang memotong kubus di tengah-tengah ketinggiannya.

Bidang yang dibentuk oleh P, Q, dan R adalah sebuah persegi panjang (atau persegi jika s = s, yang selalu benar). Bidang ini sejajar dengan bidang ABCD dan EFGH.

Irisan melalui P, Q, dan R adalah sebuah bidang datar yang memotong kubus. Sifat dari bidang irisan ini adalah:
1. Bidang PQR sejajar dengan bidang alas ABCD dan bidang atas EFGH.
2. Bidang PQR tegak lurus terhadap rusuk-rusuk AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH, HE.
3. Bentuk irisan PQR adalah persegi panjang jika P, Q, R adalah titik-titik yang dipilih sedemikian rupa sehingga PQ sejajar EH dan QR sejajar EF. Dalam contoh penempatan titik di atas, PQ sejajar EH dan QR sejajar EF, sehingga PQRS adalah persegi jika s=s. Maka irisan PQR adalah sebuah persegi panjang.

Secara umum, tanpa mengetahui posisi pasti P, Q, R pada bidang masing-masing, irisan tersebut akan membentuk sebuah segitiga jika P, Q, R tidak segaris dan tidak terletak pada satu bidang yang memotong seluruh kubus. Namun, karena P, Q, R terletak pada bidang-bidang yang berurutan pada sisi-sisi kubus, maka irisan yang terbentuk adalah sebuah segitiga atau segiempat atau bentuk poligon lain tergantung pada posisi P, Q, R. Jika P, Q, R adalah titik-titik yang dipilih pada rusuk-rusuk yang berdekatan, irisan yang terbentuk adalah sebuah segitiga.

Jika P pada AB, Q pada BC, R pada CD, maka irisan PQR akan memotong bidang ADHE dan bidang EFGH. Akan tetapi, soal menyatakan P pada ABFE, Q pada BCGF, R pada DCGH. Maka, irisan yang terbentuk adalah sebuah segitiga, dengan titik sudut ketiga berada pada bidang ADHE atau EFGH tergantung posisi P, Q, R.

Dengan asumsi P, Q, R adalah titik-titik yang dibentuk oleh perpotongan sebuah bidang dengan rusuk-rusuk kubus pada bidang yang disebutkan, maka irisan yang terbentuk adalah sebuah segitiga.