Pada bangun limas T.ABC, BC tegak lurus BT, AB tegak lurus

Besar sudut antara bidang ACB dan bidang BCT adalah 45°.

Pembahasan

Untuk menentukan besar sudut antara bidang ACB dan bidang BCT pada limas T.ABC, kita perlu menggunakan konsep proyeksi sudut bidang.

Diketahui:
- BC tegak lurus BT
- AB tegak lurus bidang BCT
- BC = BT = a√2
- AB = a

Karena AB tegak lurus bidang BCT, maka AB tegak lurus dengan setiap garis di bidang BCT yang melalui B. Ini berarti AB tegak lurus BC dan AB tegak lurus BT.

Bidang BCT adalah bidang alas limas yang mengandung segitiga siku-siku BCT (karena BC tegak lurus BT).

Kita perlu mencari sudut antara bidang ACB dan bidang BCT.
Bidang BCT adalah bidang referensi kita.

Untuk mencari sudut antara dua bidang, kita cari garis potong kedua bidang, yaitu garis BC.
Kemudian, kita ambil sebuah titik pada garis potong BC, misalnya titik B.
Dari titik B, kita tarik dua garis tegak lurus terhadap BC, satu di bidang BCT dan satu di bidang ACB.
Garis di bidang BCT yang tegak lurus BC adalah BT (karena BC tegak lurus BT).

Garis di bidang ACB yang tegak lurus BC adalah garis dari A yang tegak lurus BC. Karena AB tegak lurus bidang BCT, maka AB tegak lurus BC. Kita perlu mencari proyeksi titik A pada bidang BCT, yaitu titik B. Jadi, garis yang tegak lurus BC di bidang ACB dan melalui B adalah BA.

Namun, kita perlu garis yang tegak lurus BC dari A ke BC, bukan dari B ke BC.

Karena AB tegak lurus bidang BCT, maka AB tegak lurus BC.

Mari kita tinjau bidang ACB. Kita perlu mencari garis di bidang ACB yang tegak lurus BC dan melalui titik pada BC.
Titik A berada di luar bidang BCT.

Kita tahu AB tegak lurus bidang BCT. Ini berarti AB tegak lurus BC.

Karena AB tegak lurus BC, maka AB adalah garis tinggi dari A ke BC jika kita menganggap BC sebagai alas segitiga ABC.

Namun, kita mencari sudut antara bidang ACB dan bidang BCT.
Garis potong kedua bidang adalah BC.

Ambil titik pada BC, misalnya C.
Di bidang BCT, garis tegak lurus BC melalui C adalah CT (jika segitiga BCT siku-siku di C, tapi tidak diberikan).
Kita tahu BC tegak lurus BT, jadi segitiga BCT siku-siku di B.

Ambil titik pada BC, misalnya B.
Di bidang BCT, garis tegak lurus BC melalui B adalah BT.

Sekarang, di bidang ACB, kita perlu mencari garis yang tegak lurus BC dan melalui B.
Kita tahu AB tegak lurus BC. Garis AB adalah garis di bidang ABC yang tegak lurus BC.

Jadi, sudut antara bidang ACB dan bidang BCT adalah sudut antara garis BT (di bidang BCT, tegak lurus BC) dan garis AB (di bidang ACB, tegak lurus BC).

Sudut yang dicari adalah sudut ∠ABT.

Kita tahu:
- AB = a
- BT = a√2

Segitiga ABT adalah segitiga siku-siku karena AB tegak lurus bidang BCT, sehingga AB tegak lurus BT.

Dalam segitiga siku-siku ABT, dengan sudut siku-siku di A:
Kita bisa gunakan trigonometri untuk mencari sudut ∠ABT.

tan(∠ABT) = (sisi depan) / (sisi samping) = AT / AB
cos(∠ABT) = (sisi samping) / (sisi miring) = AB / AT
sin(∠ABT) = (sisi depan) / (sisi miring) = AT / AB

Menggunakan sisi yang diketahui:
AB = a
BT = a√2 (ini adalah sisi miring dari segitiga ABT jika sudut siku-sikunya di A)

Periksa lagi:
AB tegak lurus bidang BCT, maka AB tegak lurus BT dan AB tegak lurus BC.
Jadi, segitiga ABT siku-siku di A.

Dalam segitiga siku-siku ABT:
Sisi depan ∠ABT adalah AT.
Sisi samping ∠ABT adalah AB = a.
Sisi miring adalah BT = a√2.

Ini tampaknya salah, karena sisi miring harus yang terpanjang. Jika BT adalah sisi miring, maka BT harus lebih panjang dari AB dan AT.
Tetapi BT = a√2 dan AB = a. Maka BT > AB.

Jika segitiga ABT siku-siku di A, maka BT adalah sisi miring.
Dengan demikian, AB = a, BT = a√2.

Kita bisa mencari AT menggunakan teorema Pythagoras:
AB² + AT² = BT²
a² + AT² = (a√2)²
a² + AT² = 2a²
AT² = 2a² - a²
AT² = a²
AT = a

Jadi, segitiga ABT adalah segitiga siku-siku sama kaki dengan AB = AT = a.

Sekarang kita cari sudut ∠ABT.
Dalam segitiga siku-siku ABT:
tan(∠ABT) = AT / AB = a / a = 1

Jika tan(∠ABT) = 1, maka ∠ABT = 45°.

Atau menggunakan cos:
cos(∠ABT) = AB / BT = a / (a√2) = 1/√2
Jika cos(∠ABT) = 1/√2, maka ∠ABT = 45°.

Jadi, besar sudut antara bidang ACB dan bidang BCT adalah 45°.

Mari kita pastikan kembali logika proyeksi sudut bidang.
Bidang ACB dan bidang BCT berpotongan pada garis BC.
AB tegak lurus bidang BCT. Ini berarti AB tegak lurus BC dan AB tegak lurus BT.
Oleh karena itu, AB adalah proyeksi dari garis AC pada bidang yang tegak lurus BC. Ini tidak benar.

Karena AB tegak lurus bidang BCT, maka AB tegak lurus dengan semua garis di bidang BCT yang melalui B. Khususnya, AB tegak lurus BC dan AB tegak lurus BT.

Garis potong kedua bidang adalah BC.
Kita perlu mencari garis di bidang BCT yang tegak lurus BC (melalui titik pada BC), dan garis di bidang ACB yang tegak lurus BC (melalui titik pada BC).

Kita ambil titik B pada BC.
Di bidang BCT, garis yang tegak lurus BC melalui B adalah BT.
Di bidang ACB, garis yang tegak lurus BC melalui B adalah garis dari A ke BC yang tegak lurus BC. Karena AB tegak lurus BC, maka garis AB adalah garis yang kita cari.

Jadi, sudut antara bidang ACB dan bidang BCT adalah sudut antara BT dan AB, yaitu ∠ABT.

Karena AB tegak lurus bidang BCT, maka AB tegak lurus BT. Segitiga ABT siku-siku di A.

Diketahui AB = a, BT = a√2.
Dalam segitiga siku-siku ABT:
cos(∠ABT) = Sisi samping / Sisi miring = AB / BT = a / (a√2) = 1/√2.

Jadi, ∠ABT = 45°.

Jawaban sudah benar.