Pada gambar berikut tampak persegi ABCD dengan sisi 20 cm

100 cm²

Pembahasan

Soal ini meminta untuk mencari luas maksimum dari segitiga AEF pada sebuah persegi ABCD dengan sisi 20 cm, di mana BE = 2x cm dan CF = x cm.

Diketahui:
Persegi ABCD dengan sisi = 20 cm.
Panjang BE = 2x cm.
Panjang CF = x cm.

Untuk mencari luas maksimum segitiga AEF, kita perlu menentukan luas segitiga AEF sebagai fungsi dari x, lalu mencari nilai x yang memaksimalkan fungsi tersebut. 

Luas segitiga AEF dapat dihitung dengan luas persegi dikurangi luas tiga segitiga siku-siku di sekelilingnya: segitiga ABE, segitiga ECF, dan segitiga FDA.

Luas Persegi ABCD = sisi * sisi = 20 * 20 = 400 cm².

1. Luas Segitiga ABE:
   Alas = AB = 20 cm
   Tinggi = BE = 2x cm
   Luas ABE = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * 20 * 2x = 20x cm².

2. Luas Segitiga ECF:
   Alas = CF = x cm
   Tinggi = CE = CD - DE = 20 - (20-BE) = 20 - (20-2x) = 2x ??
   Mari kita gunakan sisi-sisi yang diketahui. CE = BC - BE = 20 - 2x
   CF = x
   Luas ECF = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * CF * CE = 1/2 * x * (20 - 2x) = 1/2 * (20x - 2x²) = 10x - x² cm².

3. Luas Segitiga FDA:
   Alas = AD = 20 cm
   Tinggi = FD = CD - CF = 20 - x cm
   Luas FDA = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * AD * FD = 1/2 * 20 * (20 - x) = 10 * (20 - x) = 200 - 10x cm².

Luas Segitiga AEF = Luas Persegi - (Luas ABE + Luas ECF + Luas FDA)
Luas AEF = 400 - (20x + (10x - x²) + (200 - 10x))
Luas AEF = 400 - (20x + 10x - x² + 200 - 10x)
Luas AEF = 400 - (200 + 20x - x²)
Luas AEF = 400 - 200 - 20x + x²
Luas AEF(x) = x² - 20x + 200

Untuk mencari luas maksimum, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi luas AEF(x) terhadap x dan menyamakannya dengan nol.
Luas AEF'(x) = d/dx (x² - 20x + 200)
Luas AEF'(x) = 2x - 20

Samakan turunan dengan nol:
2x - 20 = 0
2x = 20
x = 10

Sekarang kita substitusikan nilai x = 10 kembali ke dalam fungsi luas AEF(x) untuk mendapatkan luas maksimum:
Luas AEF(10) = (10)² - 20(10) + 200
Luas AEF(10) = 100 - 200 + 200
Luas AEF(10) = 100

Jadi, luas maksimum segitiga AEF adalah 100 cm².