Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 11Kelas 12mathGeometriKalkulus

Pada gambar berikut tampak persegi ABCD dengan sisi 20 cm

Pertanyaan

Pada gambar berikut tampak persegi ABCD dengan sisi 20 cm dan diketahui panjang BE=2x cm serta CF=xcm. Luas maksimum segitiga AEF adalah...

Solusi

Verified

100 cm²

Pembahasan

Soal ini meminta untuk mencari luas maksimum dari segitiga AEF pada sebuah persegi ABCD dengan sisi 20 cm, di mana BE = 2x cm dan CF = x cm. Diketahui: Persegi ABCD dengan sisi = 20 cm. Panjang BE = 2x cm. Panjang CF = x cm. Untuk mencari luas maksimum segitiga AEF, kita perlu menentukan luas segitiga AEF sebagai fungsi dari x, lalu mencari nilai x yang memaksimalkan fungsi tersebut. Luas segitiga AEF dapat dihitung dengan luas persegi dikurangi luas tiga segitiga siku-siku di sekelilingnya: segitiga ABE, segitiga ECF, dan segitiga FDA. Luas Persegi ABCD = sisi * sisi = 20 * 20 = 400 cm². 1. Luas Segitiga ABE: Alas = AB = 20 cm Tinggi = BE = 2x cm Luas ABE = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * 20 * 2x = 20x cm². 2. Luas Segitiga ECF: Alas = CF = x cm Tinggi = CE = CD - DE = 20 - (20-BE) = 20 - (20-2x) = 2x ?? Mari kita gunakan sisi-sisi yang diketahui. CE = BC - BE = 20 - 2x CF = x Luas ECF = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * CF * CE = 1/2 * x * (20 - 2x) = 1/2 * (20x - 2x²) = 10x - x² cm². 3. Luas Segitiga FDA: Alas = AD = 20 cm Tinggi = FD = CD - CF = 20 - x cm Luas FDA = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * AD * FD = 1/2 * 20 * (20 - x) = 10 * (20 - x) = 200 - 10x cm². Luas Segitiga AEF = Luas Persegi - (Luas ABE + Luas ECF + Luas FDA) Luas AEF = 400 - (20x + (10x - x²) + (200 - 10x)) Luas AEF = 400 - (20x + 10x - x² + 200 - 10x) Luas AEF = 400 - (200 + 20x - x²) Luas AEF = 400 - 200 - 20x + x² Luas AEF(x) = x² - 20x + 200 Untuk mencari luas maksimum, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi luas AEF(x) terhadap x dan menyamakannya dengan nol. Luas AEF'(x) = d/dx (x² - 20x + 200) Luas AEF'(x) = 2x - 20 Samakan turunan dengan nol: 2x - 20 = 0 2x = 20 x = 10 Sekarang kita substitusikan nilai x = 10 kembali ke dalam fungsi luas AEF(x) untuk mendapatkan luas maksimum: Luas AEF(10) = (10)² - 20(10) + 200 Luas AEF(10) = 100 - 200 + 200 Luas AEF(10) = 100 Jadi, luas maksimum segitiga AEF adalah 100 cm².

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Aplikasi Turunan, Optimasi, Luas Bangun Datar
Section: Mencari Nilai Maksimum Minimum, Luas Segitiga, Luas Persegi

Apakah jawaban ini membantu?

On This Page

Loading Related Questions...