Kelas 11Kelas 12mathGeometriKalkulus
Pada gambar berikut tampak persegi ABCD dengan sisi 20 cm
Pertanyaan
Pada gambar berikut tampak persegi ABCD dengan sisi 20 cm dan diketahui panjang BE=2x cm serta CF=xcm. Luas maksimum segitiga AEF adalah...
Solusi
Verified
100 cm²
Pembahasan
Soal ini meminta untuk mencari luas maksimum dari segitiga AEF pada sebuah persegi ABCD dengan sisi 20 cm, di mana BE = 2x cm dan CF = x cm. Diketahui: Persegi ABCD dengan sisi = 20 cm. Panjang BE = 2x cm. Panjang CF = x cm. Untuk mencari luas maksimum segitiga AEF, kita perlu menentukan luas segitiga AEF sebagai fungsi dari x, lalu mencari nilai x yang memaksimalkan fungsi tersebut. Luas segitiga AEF dapat dihitung dengan luas persegi dikurangi luas tiga segitiga siku-siku di sekelilingnya: segitiga ABE, segitiga ECF, dan segitiga FDA. Luas Persegi ABCD = sisi * sisi = 20 * 20 = 400 cm². 1. Luas Segitiga ABE: Alas = AB = 20 cm Tinggi = BE = 2x cm Luas ABE = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * 20 * 2x = 20x cm². 2. Luas Segitiga ECF: Alas = CF = x cm Tinggi = CE = CD - DE = 20 - (20-BE) = 20 - (20-2x) = 2x ?? Mari kita gunakan sisi-sisi yang diketahui. CE = BC - BE = 20 - 2x CF = x Luas ECF = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * CF * CE = 1/2 * x * (20 - 2x) = 1/2 * (20x - 2x²) = 10x - x² cm². 3. Luas Segitiga FDA: Alas = AD = 20 cm Tinggi = FD = CD - CF = 20 - x cm Luas FDA = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * AD * FD = 1/2 * 20 * (20 - x) = 10 * (20 - x) = 200 - 10x cm². Luas Segitiga AEF = Luas Persegi - (Luas ABE + Luas ECF + Luas FDA) Luas AEF = 400 - (20x + (10x - x²) + (200 - 10x)) Luas AEF = 400 - (20x + 10x - x² + 200 - 10x) Luas AEF = 400 - (200 + 20x - x²) Luas AEF = 400 - 200 - 20x + x² Luas AEF(x) = x² - 20x + 200 Untuk mencari luas maksimum, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi luas AEF(x) terhadap x dan menyamakannya dengan nol. Luas AEF'(x) = d/dx (x² - 20x + 200) Luas AEF'(x) = 2x - 20 Samakan turunan dengan nol: 2x - 20 = 0 2x = 20 x = 10 Sekarang kita substitusikan nilai x = 10 kembali ke dalam fungsi luas AEF(x) untuk mendapatkan luas maksimum: Luas AEF(10) = (10)² - 20(10) + 200 Luas AEF(10) = 100 - 200 + 200 Luas AEF(10) = 100 Jadi, luas maksimum segitiga AEF adalah 100 cm².
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Aplikasi Turunan, Optimasi, Luas Bangun Datar
Section: Mencari Nilai Maksimum Minimum, Luas Segitiga, Luas Persegi
Apakah jawaban ini membantu?