Pada gambar di atas, PQRS adalah persegi. Panjang PU=QV=RW

Menggunakan vektor atau teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku yang dibentuk oleh sisi-sisi persegi dan penempatan titik U, V, W, dapat dibuktikan bahwa ∠UVW = 90°.

Pembahasan

Diketahui PQRS adalah persegi. PU = QV = RW dan UQ = VR = WS. Kita perlu membuktikan bahwa ∠UVW = 90°.
Karena PQRS adalah persegi, maka semua sisinya sama panjang (misal s) dan semua sudutnya 90°.
Misalkan panjang sisi persegi adalah s. Maka PQ = QR = RS = SP = s.
Diketahui PU = QV = RW. Misalkan panjangnya adalah x.
Diketahui UQ = VR = WS. Misalkan panjangnya adalah y.
Karena U terletak pada PQ dan Q terletak pada QR, maka PQ = PU + UQ. Jadi, s = x + y.
Perhatikan segitiga PUV. Kita perlu mengetahui panjang PV. PV = PQ - QV = s - x = y. Maka segitiga PUV adalah segitiga siku-siku di P dengan PU = x dan PV = y.
Perhatikan segitiga QVU. Kita perlu mengetahui panjang QU. QU = PQ - PU = s - x = y. Maka segitiga QVU adalah segitiga siku-siku di Q dengan QV = x dan QU = y.
Perhatikan segitiga RWU. Kita perlu mengetahui panjang RU. RU = RQ - QU = s - y. Maka segitiga RWU adalah segitiga siku-siku di R dengan RW = x dan RU = s-y. 
Namun, informasi UQ = VR = WS tidak digunakan secara langsung di sini dan mungkin ada kesalahan interpretasi soal atau gambar. 
Mari kita fokus pada pembuktian ∠UVW = 90° dengan asumsi yang lebih umum terkait penempatan titik U, V, W pada sisi-sisi persegi.
Jika U pada PQ, V pada QR, W pada RS, dan kita ingin membuktikan ∠UVW = 90°, kita bisa menggunakan konsep gradien atau teorema Pythagoras jika kita bisa menentukan panjang sisi-sisinya.
Asumsikan gambar yang dimaksud adalah U pada PQ, V pada QR, dan W pada RS, dengan PU = QV = RW = x, dan QU = RV = SW = y. Maka PQ = QR = RS = s = x+y.
Dalam segitiga siku-siku PUV, PV = PQ - QV = s - x = y. Maka UV² = PU² + PV² = x² + y².
Dalam segitiga siku-siku QVU, QU = PQ - PU = s - x = y. Maka VU² = QV² + QU² = x² + y². Ini keliru, seharusnya QU = y, QV = x, maka VU² = QV² + QU² = x² + y².
Dalam segitiga siku-siku RWV, RV = QR - QV = s - x = y. Maka VW² = RV² + RW² = y² + x². 
Dalam segitiga siku-siku SWU, SW = y, SU = SP - PU = s - x = y. Maka UW² = SU² + SW² = y² + y² = 2y². Ini keliru.

Reinterpretasi soal: Misalkan titik U pada PQ, V pada QR, W pada RS, dan kita ingin membuktikan bahwa segitiga UVW siku-siku di V (∠UVW = 90°).
Diketahui PQRS adalah persegi. Misalkan panjang sisinya adalah s. PU = QV = RW = a. UQ = VR = WS = b. Maka s = a + b.
Pada segitiga siku-siku PUV (siku-siku di P):
PV = PQ - QV = s - a = b
UV² = PU² + PV² = a² + b²

Pada segitiga siku-siku QVU (siku-siku di Q):
QU = PQ - PU = s - a = b
VU² = QV² + QU² = a² + b²

Pada segitiga siku-siku RWV (siku-siku di R):
RV = QR - QV = s - a = b
VW² = RW² + RV² = a² + b²

Untuk membuktikan ∠UVW = 90°, kita bisa menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga UVW. Kita perlu menghitung panjang UW dan memeriksa apakah UV² + VW² = UW².

Perhatikan segitiga siku-siku SUW (siku-siku di S):
SU = SP - PU = s - a = b
SW = s
Ini keliru. Titik W ada di RS.

Mari kita gunakan koordinat.
Misalkan P = (0, s), Q = (s, s), R = (s, 0), S = (0, 0).
PU = a, maka U = (a, s).
QV = a, maka V = (s, s-a) = (s, b).
RW = a, maka W = (s-a, 0) = (b, 0).

Sekarang kita hitung vektor VU dan VW.
$\\\vec{VU} = U - V = (a, s) - (s, b) = (a-s, s-b) = (a-(a+b), (a+b)-b) = (-b, a)$
$\\\vec{VW} = W - V = (b, 0) - (s, b) = (b-s, 0-b) = (b-(a+b), -b) = (-a, -b)$

Untuk membuktikan ∠UVW = 90°, kita periksa apakah dot product dari $\\\vec{VU}$ dan $\\\vec{VW}$ adalah nol.
$\\\vec{VU} \\\cdot \\\\\vec{VW} = (-b)(-a) + (a)(-b) = ab - ab = 0$.
Karena dot productnya adalah 0, maka vektor VU tegak lurus terhadap vektor VW. Jadi, ∠UVW = 90°.