Tunjukkan bahwa lim tidak ada. Sertakan alasanmu: Kamu

Limit tidak ada jika limit kiri tidak sama dengan limit kanan, fungsi menuju tak hingga, atau fungsi berosilasi tanpa batas di sekitar suatu titik.

Pembahasan

Untuk menunjukkan bahwa limit fungsi tidak ada, kita dapat menggunakan pendekatan grafik atau menganalisis perilaku fungsi dari sisi kiri dan kanan (limit kiri dan limit kanan).

Soal ini meminta untuk menunjukkan bahwa "lim tidak ada" tanpa menyebutkan fungsi spesifiknya. Ini membuat soal ini tidak lengkap.

Namun, jika kita mengasumsikan bahwa soal ini merujuk pada sebuah fungsi yang memiliki sifat tertentu, misalnya fungsi yang memiliki lompatan (discontinuity) atau perilaku osilasi di suatu titik, maka limitnya mungkin tidak ada.

Mari kita ambil contoh umum dari fungsi yang limitnya tidak ada di suatu titik, misalnya:
f(x) = |x| / x

Untuk fungsi ini, kita akan menganalisis limit dari sisi kiri dan sisi kanan di x=0.

Limit dari sisi kanan (x mendekati 0 dari nilai positif, x > 0):
lim (x→0+) |x| / x
Karena x > 0, |x| = x.
Jadi, lim (x→0+) x / x = lim (x→0+) 1 = 1.

Limit dari sisi kiri (x mendekati 0 dari nilai negatif, x < 0):
lim (x→0-) |x| / x
Karena x < 0, |x| = -x.
Jadi, lim (x→0-) (-x) / x = lim (x→0-) -1 = -1.

Karena limit kiri (1) tidak sama dengan limit kanan (-1), maka limit fungsi f(x) = |x| / x saat x mendekati 0 tidak ada.

Pendekatan grafik:
Grafik dari f(x) = |x| / x adalah sebagai berikut:
- Untuk x > 0, f(x) = 1 (garis horizontal di y=1).
- Untuk x < 0, f(x) = -1 (garis horizontal di y=-1).

Di x=0, terdapat lompatan dari -1 ke 1. Karena kedua sisi tidak bertemu pada satu titik atau mendekati satu nilai yang sama, limitnya tidak ada.

Contoh lain: Fungsi tangga (step function) atau fungsi yang berosilasi.

Tanpa fungsi spesifik yang diberikan dalam soal, jawaban ini bersifat umum berdasarkan prinsip-prinsip limit.

Jika soal tersebut mengacu pada suatu grafik yang diberikan, maka kita perlu menganalisis grafik tersebut:
1. Cari titik pada sumbu x yang ingin kita evaluasi limitnya.
2. Lihat perilaku fungsi saat mendekati titik tersebut dari kiri.
3. Lihat perilaku fungsi saat mendekati titik tersebut dari kanan.
4. Jika nilai pendekatan dari kiri sama dengan nilai pendekatan dari kanan, maka limitnya ada dan sama dengan nilai tersebut.
5. Jika nilai pendekatan dari kiri berbeda dengan nilai pendekatan dari kanan, atau jika salah satu atau keduanya tidak mendekati nilai tertentu (misalnya, menuju tak hingga atau osilasi tanpa batas), maka limitnya tidak ada.

Alasan umum limit tidak ada:
1. Limit Kiri ≠ Limit Kanan: Terjadi pada titik diskontinuitas jenis lompatan.
2. Fungsi menuju Tak Hingga: Limit Kiri atau Kanan (atau keduanya) menuju ∞ atau -∞.
3. Fungsi Berosilasi: Fungsi berosilasi tanpa batas di sekitar suatu titik, sehingga tidak mendekati satu nilai tunggal (contoh: sin(1/x) saat x mendekati 0).
4. Fungsi Tidak Terdefinisi: Meskipun biasanya limit masih bisa ada meskipun fungsi tidak terdefinisi di titik tersebut, jika ketidakberadaannya menyebabkan perilaku yang tidak mendekati nilai tunggal, maka limitnya tidak ada.

Karena soal tidak menyediakan fungsi atau grafik spesifik, saya memberikan penjelasan umum beserta contoh ilustratif.