Pada gambar di bawah ini, jajargenjang PQRS dibentuk dari

Panjang PS adalah 10 cm.

Pembahasan

Diketahui jajargenjang PQRS dibentuk dari segitiga sama kaki PQS dan segitiga sama kaki QRS dengan panjang PS = QS = QR. Diketahui juga panjang PQ:ST = 3:2 dan luas jajargenjang PQRS = 96 cm². Karena PQRS adalah jajargenjang, maka PQ = SR dan PS = QR. Diketahui QS = PS dan QS = QR, maka PS = QR = QS. Ini berarti segitiga PQS dan QRS adalah segitiga sama sisi jika sudutnya 60 derajat, atau setidaknya sama kaki. Namun, kita diberikan informasi bahwa PQRS adalah jajargenjang. Dalam jajargenjang, diagonal-diagonalnya berpotongan di tengah. Misalkan titik potong diagonal adalah T. Maka PT = TQ = ST = TR. Jika PS = QS = QR, maka segitiga PQS dan QRS adalah segitiga sama kaki. Jika kita mengasumsikan T adalah titik tengah diagonal PR dan QS, maka PT = TR dan QT = TS. Karena PS = QS = QR, dan PQRS adalah jajargenjang, maka PQ sejajar SR dan PS sejajar QR. Luas jajargenjang PQRS = alas * tinggi. Misalkan alasnya adalah PQ dan tingginya adalah t. Maka luasnya = PQ * t = 96 cm². Kita juga diberikan perbandingan PQ:ST = 3:2. Ini berarti PQ = 3x dan ST = 2x untuk suatu konstanta x. Namun, hubungan antara ST dan tinggi jajargenjang perlu diperjelas. Jika kita mengasumsikan bahwa ST adalah setengah dari panjang diagonal QS, maka QS = 2 * ST = 4x. Karena PS = QS, maka PS = 4x. Dalam jajargenjang, luas juga dapat dihitung sebagai hasil kali dua sisi berturutan dikalikan sinus sudut di antaranya. Luas = PQ * PS * sin(∠SPQ) = 96. Kita perlu menemukan nilai PS. Mari kita pertimbangkan diagonal QS. Luas jajargenjang PQRS = 2 * Luas segitiga PQS. Luas segitiga PQS = 1/2 * alas * tinggi. Jika kita menggunakan PS sebagai alas, kita memerlukan tinggi dari Q ke PS. Karena PS = QS, segitiga PQS adalah sama kaki. Jika kita menggunakan PQ sebagai alas, tinggi dari S ke PQ. Namun, kita tidak memiliki informasi tentang sudut atau tinggi secara langsung. Mari kita coba menggunakan sifat diagonal. Dalam jajargenjang, jumlah kuadrat diagonal sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisinya. PR^2 + QS^2 = 2(PQ^2 + PS^2). Kita tahu PQ:ST = 3:2. Jika ST adalah setengah diagonal QS, maka QS = 2*ST. Jadi PQ = 3/2 * QS. Substitusikan ke dalam perbandingan: PQ = 3x, ST = 2x. Maka QS = 2 * ST = 4x. Dan PQ = 3x. Karena PS = QS, maka PS = 4x. Sekarang kita punya PQ = 3x dan PS = 4x. Luas jajargenjang = PQ * PS * sin(∠SPQ) = 96. (3x)(4x) sin(∠SPQ) = 96. 12x^2 sin(∠SPQ) = 96. x^2 sin(∠SPQ) = 8. Kita tidak bisa menyelesaikan ini tanpa mengetahui sudutnya. Mari kita pertimbangkan kembali informasi PS = QS = QR. Jika PS = QS, segitiga PQS sama kaki. Jika QS = QR, segitiga QRS sama kaki. Dalam jajargenjang PQRS, PS sejajar QR, jadi ∠SPQ + ∠PQR = 180°. Karena PS = QR, maka jajargenjang ini adalah persegi panjang jika sudutnya 90°, atau belah ketupat jika semua sisinya sama. Jika PS = QS = QR, maka sisi PS = sisi QR. Dan diagonal QS. Jika kita tahu PQ:ST = 3:2, dan jika T adalah titik potong diagonal, maka ST = 1/2 QS. Maka PQ = 3/2 ST = 3/2 (1/2 QS) = 3/4 QS. Tapi kita juga diberi PS = QS. Jadi PQ = 3/4 PS. Luas jajargenjang = PQ * tinggi. Atau kita bisa gunakan rumus luas = 1/2 * d1 * d2 * sin(theta), di mana d1 dan d2 adalah panjang diagonal dan theta adalah sudut di antara mereka. Kita punya QS sebagai salah satu diagonal. Misalkan PR adalah diagonal lainnya. T adalah titik potong, jadi ST = 1/2 QS. PQ = 3/2 ST = 3/4 QS. Kita juga punya PS = QS. Jadi PQ = 3/4 PS. Luas = PQ * PS * sin(∠SPQ) = 96. (3/4 PS) * PS * sin(∠SPQ) = 96. 3/4 PS^2 sin(∠SPQ) = 96. PS^2 sin(∠SPQ) = 96 * 4/3 = 128. Tanpa informasi sudut, kita tidak bisa menyelesaikan. Mari kita cek asumsi lain. Jika ST adalah tinggi segitiga PQS dari S ke PQ, maka Luas PQS = 1/2 * PQ * ST = 96/2 = 48. PQ * ST = 96. Kita punya PQ:ST = 3:2. Jadi PQ = 3x, ST = 2x. (3x)(2x) = 96. 6x^2 = 96. x^2 = 16. x = 4. Maka PQ = 3*4 = 12 cm dan ST = 2*4 = 8 cm. Karena PS = QS, segitiga PQS sama kaki. Jika ST adalah tinggi dari S ke PQ, maka T adalah titik tengah PQ. Jadi PT = TQ = PQ/2 = 12/2 = 6 cm. Dalam segitiga siku-siku STQ, QS^2 = ST^2 + TQ^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100. Maka QS = 10 cm. Karena PS = QS, maka PS = 10 cm. Mari kita cek apakah ini konsisten dengan jajargenjang. Jika PS = 10 cm dan PQ = 12 cm. Luas jajargenjang = alas * tinggi = PQ * tinggi dari S ke PQ. Tinggi dari S ke PQ adalah ST = 8 cm. Luas = 12 * 8 = 96 cm². Ini cocok. Jadi, panjang PS adalah 10 cm.