Pada gambar-gambar di bawah ini, gambar berikutnya

$\frac{781}{256}$ satuan luas.

Pembahasan

Misalkan luas segitiga sama sisi pada gambar (1) adalah $A_1 = 1$ satuan luas. Setiap segitiga hitam yang baru dibentuk memiliki ukuran sisi setengah dari segitiga putih sebelumnya. Ini berarti luas segitiga hitam yang baru adalah seperempat dari luas segitiga putih sebelumnya.

Pada gambar (1), terdapat 1 segitiga hitam dengan luas 1.
Pada gambar (2), segitiga putih pada gambar (1) dibagi menjadi 4 segitiga yang lebih kecil. Satu segitiga di tengah berwarna hitam, dan tiga segitiga di pinggir berwarna putih. Luas setiap segitiga kecil adalah $\frac{1}{4} A_1 = \frac{1}{4}$. Jadi, luas segitiga hitam pada gambar (2) adalah $A_2 = 1 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ satuan luas (segitiga hitam pertama) + $3 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ (segitiga putih yang dibagi lagi).

Mari kita fokus pada penambahan segitiga hitam baru setiap langkahnya:
Gambar 1: 1 segitiga hitam, luas = 1.
Gambar 2: Tambahan 3 segitiga hitam, masing-masing luasnya $\frac{1}{4}$ dari segitiga putih sebelumnya. Karena ada 3 segitiga putih tersisa dari pembagian segitiga asli, total luas hitam baru adalah $3 \times (\frac{1}{4} \times 1) = \frac{3}{4}$.
Gambar 3: Tiga segitiga putih pada gambar 2 masing-masing dibagi lagi menjadi 4. Dari setiap segitiga putih, 1 segitiga baru berwarna hitam. Luas segitiga putih pada gambar 2 adalah $\frac{1}{4}$. Maka luas segitiga hitam baru adalah $3 \times (\frac{1}{4} \times \frac{1}{4}) = \frac{3}{16}$.
Gambar 4: Ada $3 \times 3 = 9$ segitiga putih pada gambar 3. Masing-masing dibagi lagi. Luas segitiga putih pada gambar 3 adalah $(\frac{1}{4})^2$. Maka luas segitiga hitam baru adalah $9 	imes (\frac{1}{4} 	imes (\frac{1}{4})^2) = 9 	imes \frac{1}{64} = rac{9}{64}$.
Gambar 5: Ada $9 	imes 3 = 27$ segitiga putih pada gambar 4. Luas segitiga putih pada gambar 4 adalah $(\frac{1}{4})^3$. Maka luas segitiga hitam baru adalah $27 	imes (\frac{1}{4} 	imes (\frac{1}{4})^3) = 27 	imes \frac{1}{256} = rac{27}{256}$.

Total luas segitiga hitam pada gambar (5) adalah jumlah luas segitiga hitam dari gambar (1) ditambah penambahan segitiga hitam pada setiap langkahnya.
Luas total hitam pada gambar 5 = Luas hitam gambar 1 + Luas hitam baru gambar 2 + Luas hitam baru gambar 3 + Luas hitam baru gambar 4 + Luas hitam baru gambar 5
Luas total = $1 + \frac{3}{4} + \frac{3}{16} + \frac{9}{64} + \frac{27}{256}$
Ini adalah deret geometri dengan suku pertama $a=1$ dan rasio $r=\frac{3}{4}$. Namun, penjelasannya di atas sedikit keliru dalam menginterpretasikan penambahan area hitam.

Mari kita gunakan interpretasi yang lebih tepat berdasarkan pola:
Setiap langkah, setiap segitiga putih yang tersisa menghasilkan 3 segitiga hitam baru, masing-masing dengan luas 1/4 dari segitiga putih tersebut.
Gambar 1: Luas hitam = 1.
Gambar 2: Luas hitam = 1 (dari gambar 1) + 3 * (1/4) = 1 + 3/4.
Gambar 3: Luas hitam = Luas hitam gambar 2 + 3 * 3 * (1/4 * 1/4) = 1 + 3/4 + 9/16.
Gambar 4: Luas hitam = Luas hitam gambar 3 + 3 * 9 * (1/4 * 1/64) = 1 + 3/4 + 9/16 + 27/64.
Gambar 5: Luas hitam = Luas hitam gambar 4 + 3 * 27 * (1/4 * 1/256) = 1 + 3/4 + 9/16 + 27/64 + 81/256.

Jumlah luasnya adalah deret geometri tak hingga:
$1 + \frac{3}{4} + \frac{3^2}{4^2} + \frac{3^3}{4^3} + \frac{3^4}{4^4} + ...$
Ini adalah deret geometri dengan suku pertama $a=1$ dan rasio $r=\frac{3}{4}$.
Jumlah n suku pertama deret geometri adalah $S_n = a \frac{1-r^n}{1-r}$.
Kita mencari jumlah 5 suku pertama:
$S_5 = 1 \times \frac{1 - (3/4)^5}{1 - 3/4} = \frac{1 - 243/1024}{1/4} = 4 \times (1 - 243/1024) = 4 	imes (1024 - 243)/1024 = 4 	imes 781/1024 = 781/256$.

Perhitungan ulang dengan interpretasi penambahan berulang:
Gambar 1: Luas hitam = 1
Gambar 2: Ditambah 3 segitiga hitam, masing-masing $\frac{1}{4}$ dari luas segitiga putih sebelumnya. Luas putih sebelumnya adalah 1. Jadi, tambahan luas hitam = $3 \times \frac{1}{4} 	imes 1 = \frac{3}{4}$. Total luas hitam = $1 + \frac{3}{4}$.
Gambar 3: Ada 3 segitiga putih tersisa dari gambar 2, masing-masing luasnya $\frac{1}{4}$. Setiap segitiga putih ini dibagi lagi menjadi 4, dengan 1 segitiga hitam baru di tengah. Luas segitiga putih ini adalah $\frac{1}{4}$. Jadi, tambahan luas hitam = $3 \times \frac{1}{4} 	imes \frac{1}{4} = \frac{3}{16}$. Total luas hitam = $1 + \frac{3}{4} + \frac{3}{16}$.
Gambar 4: Ada $3 	imes 3 = 9$ segitiga putih tersisa dari gambar 3, masing-masing luasnya $\frac{1}{16}$. Tambahan luas hitam = $9 	imes \frac{1}{4} 	imes \frac{1}{16} = \frac{9}{64}$. Total luas hitam = $1 + \frac{3}{4} + \frac{3}{16} + \frac{9}{64}$.
Gambar 5: Ada $9 	imes 3 = 27$ segitiga putih tersisa dari gambar 4, masing-masing luasnya $\frac{1}{64}$. Tambahan luas hitam = $27 	imes \frac{1}{4} 	imes \frac{1}{64} = \frac{27}{256}$. Total luas hitam = $1 + \frac{3}{4} + \frac{3}{16} + \frac{9}{64} + \frac{27}{256}$.

Menjumlahkan deret ini:
$1 + \frac{3}{4} + \frac{9}{16} + \frac{27}{64} + \frac{81}{256}$
Samakan penyebutnya menjadi 256:
$\frac{256}{256} + \frac{3 \times 64}{256} + \frac{9 	imes 16}{256} + \frac{27 	imes 4}{256} + \frac{81}{256}$
$\frac{256 + 192 + 144 + 108 + 81}{256} = \frac{781}{256}$

Jadi, luas keseluruhan daerah yang dibentuk oleh segitiga-segitiga hitam pada gambar (5) adalah $\frac{781}{256}$ satuan luas.