Tentukan nilai limit fungsi dibawah ini! lim x -> 3

10

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{\sqrt{x^2+16}-5}$, pertama kita coba substitusikan $x=3$ ke dalam fungsi:

Numerator: $3^2 - 9 = 9 - 9 = 0$
Denominator: $\sqrt{3^2+16} - 5 = \sqrt{9+16} - 5 = \sqrt{25} - 5 = 5 - 5 = 0$

Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$, kita perlu menggunakan metode lain, seperti mengalikan dengan konjugat dari penyebut.

Konjugat dari $\sqrt{x^2+16}-5$ adalah $\sqrt{x^2+16}+5$.

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{\sqrt{x^2+16}-5} \times \frac{\sqrt{x^2+16}+5}{\sqrt{x^2+16}+5}$

$= \lim_{x \to 3} \frac{(x^2-9)(\sqrt{x^2+16}+5)}{(\sqrt{x^2+16})^2 - 5^2}$

$= \lim_{x \to 3} \frac{(x^2-9)(\sqrt{x^2+16}+5)}{(x^2+16) - 25}$

$= \lim_{x \to 3} \frac{(x^2-9)(\sqrt{x^2+16}+5)}{x^2-9}$

Kita bisa membatalkan $(x^2-9)$ karena $x \to 3$ berarti $x \neq 3$, sehingga $x^2-9 \neq 0$.

$= \lim_{x \to 3} (\sqrt{x^2+16}+5)$

Sekarang, substitusikan kembali $x=3$:

$= \sqrt{3^2+16}+5$
$= \sqrt{9+16}+5$
$= \sqrt{25}+5$
$= 5+5$
$= 10$

Jadi, nilai limit fungsi tersebut adalah 10.