Pada interval 20<x<60, gradien garis singgung kurva

30 (dengan asumsi interval dalam derajat)

Pembahasan

Untuk mencari absis titik singgung kurva y=sin^2(2x) pada interval 20<x<60 dengan gradien akar(3), kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut dan menyamakannya dengan gradien.

Fungsi kurva: y = sin^2(2x)
Gradien garis singgung = sqrt(3)
Interval: 20 < x < 60

Langkah 1: Cari turunan pertama (gradien) dari y terhadap x.
Kita gunakan aturan rantai:
Misalkan u = sin(2x), maka y = u^2.
Turunan y terhadap u adalah dy/du = 2u.
Turunan u terhadap x adalah du/dx. Misalkan v = 2x, maka u = sin(v).
du/dv = cos(v).
dv/dx = 2.
Menggunakan aturan rantai untuk du/dx: du/dx = du/dv * dv/dx = cos(v) * 2 = 2cos(2x).

Sekarang, kembali ke turunan y terhadap x:
dy/dx = dy/du * du/dx
dy/dx = 2u * (2cos(2x))
dy/dx = 2(sin(2x)) * (2cos(2x))
dy/dx = 4sin(2x)cos(2x)

Menggunakan identitas trigonometri 2sin(A)cos(A) = sin(2A):
Kita bisa menulis dy/dx sebagai 2 * (2sin(2x)cos(2x)) = 2sin(2 * 2x) = 2sin(4x).

Jadi, gradien kurva adalah dy/dx = 2sin(4x).

Langkah 2: Samakan gradien dengan nilai yang diberikan.
Kita diberikan gradien = sqrt(3).
2sin(4x) = sqrt(3)
sin(4x) = sqrt(3) / 2

Langkah 3: Cari nilai 4x yang memenuhi persamaan sin(4x) = sqrt(3) / 2.
Nilai-nilai sudut di mana sinus adalah sqrt(3)/2 adalah 60 derajat (pi/3 radian) dan 120 derajat (2pi/3 radian), serta sudut-sudut lain yang periodik.

Jadi, 4x = pi/3 + 2n*pi  atau  4x = 2pi/3 + 2n*pi, di mana n adalah bilangan bulat.

Langkah 4: Cari nilai x dan periksa apakah berada dalam interval 20 < x < 60.

Kasus 1: 4x = pi/3 + 2n*pi
x = pi/12 + n*pi/2
Jika n=0, x = pi/12 ≈ 0.26 (tidak dalam interval)
Jika n=1, x = pi/12 + pi/2 = 7pi/12 ≈ 1.83 (tidak dalam interval)
Jika n=10, x = pi/12 + 10pi/2 = pi/12 + 5pi = 61pi/12 ≈ 15.97 (tidak dalam interval)
Jika n=12, x = pi/12 + 12pi/2 = pi/12 + 6pi = 73pi/12 ≈ 19.13 (tidak dalam interval)
Jika n=13, x = pi/12 + 13pi/2 = pi/12 + 6.5pi = 79pi/12 ≈ 20.67 (dalam interval 20 < x < 60)
Jika n=14, x = pi/12 + 14pi/2 = pi/12 + 7pi = 85pi/12 ≈ 22.25 (dalam interval 20 < x < 60)

Kasus 2: 4x = 2pi/3 + 2n*pi
x = 2pi/12 + n*pi/2
x = pi/6 + n*pi/2
Jika n=0, x = pi/6 ≈ 0.52 (tidak dalam interval)
Jika n=1, x = pi/6 + pi/2 = 4pi/6 = 2pi/3 ≈ 2.09 (tidak dalam interval)
Jika n=12, x = pi/6 + 12pi/2 = pi/6 + 6pi = 37pi/6 ≈ 19.37 (tidak dalam interval)
Jika n=13, x = pi/6 + 13pi/2 = pi/6 + 6.5pi = 40pi/6 = 20pi/3 ≈ 20.94 (dalam interval 20 < x < 60)
Jika n=14, x = pi/6 + 14pi/2 = pi/6 + 7pi = 43pi/6 ≈ 22.51 (dalam interval 20 < x < 60)

Perlu diingat bahwa interval diberikan dalam satuan derajat, namun perhitungan menggunakan radian. Mari kita konversi interval ke radian atau gunakan derajat dalam perhitungan.

Jika kita gunakan derajat:
Interval: 20° < x < 60°

sin(4x) = sqrt(3) / 2

Sudut di mana sin = sqrt(3)/2 adalah 60° dan 120°.

Kasus 1: 4x = 60° + n * 360°
x = 15° + n * 90°
Jika n=0, x=15° (tidak dalam interval)
Jika n=1, x=105° (tidak dalam interval)

Kasus 2: 4x = 120° + n * 360°
x = 30° + n * 90°
Jika n=0, x=30° (dalam interval 20° < x < 60°)
Jika n=1, x=120° (tidak dalam interval)

Sekarang mari kita cek kembali jika intervalnya bukan derajat melainkan nilai numerik biasa, seperti yang tersirat dari cara penulisannya.

Jika interval adalah 20 radian < x < 60 radian:

Dari 4x = pi/3 + 2n*pi => x = pi/12 + n*pi/2
n=13: x = 79pi/12 ≈ 20.67 (dalam interval)
n=14: x = 85pi/12 ≈ 22.25 (dalam interval)
n=15: x = 91pi/12 ≈ 23.82 (dalam interval)
...
Nilai x akan terus bertambah. Kita perlu mencari batas atas.
Batas atas 60:
pi/12 + n*pi/2 < 60
n*pi/2 < 60 - pi/12
n*pi/2 < (720 - pi)/12
n < (720 - pi)/12 * (2/pi)
n < (720 - pi)/(6pi)
n < 114.59 / 3.14 ≈ 36.4
Jadi, n bisa sampai 36.

Dari 4x = 2pi/3 + 2n*pi => x = pi/6 + n*pi/2
n=13: x = 20pi/3 ≈ 20.94 (dalam interval)
n=14: x = 43pi/6 ≈ 22.51 (dalam interval)
...
Batas atas 60:
pi/6 + n*pi/2 < 60
n*pi/2 < 60 - pi/6
n*pi/2 < (360 - pi)/6
n < (360 - pi)/6 * (2/pi)
n < (360 - pi)/(3pi)
n < 114.59 / 3.14 ≈ 36.4
Jadi, n bisa sampai 36.

Soal ini tampaknya memerlukan pemahaman konteks apakah intervalnya dalam derajat atau radian. Namun, karena tidak ada simbol derajat (°), kita asumsikan itu adalah nilai numerik (radian).

Dalam kasus ini, ada banyak nilai absis yang memenuhi. Namun, jika soal mengharapkan satu jawaban spesifik, mungkin ada informasi tambahan atau kesalahan dalam soal/interval.

Jika kita mengasumsikan ada typo dan intervalnya adalah 0 < x < pi/2 atau serupa, maka kita akan mendapatkan nilai x yang lebih pasti. Mari kita cari nilai x pertama yang memenuhi di luar interval 20 < x < 60.

Nilai 4x = arcsin(sqrt(3)/2).
4x = 60°, 120°, 420°, 480°, ...
x = 15°, 30°, 105°, 120°, ...

Jika kita mengasumsikan intervalnya adalah 20 radian < x < 60 radian:
Nilai x yang memenuhi 2sin(4x) = sqrt(3):
4x = pi/3 + 2k*pi  => x = pi/12 + k*pi/2
4x = 2pi/3 + 2k*pi => x = pi/6 + k*pi/2

Kita perlu mencari nilai x dalam rentang (20, 60).
Untuk x = pi/12 + k*pi/2:
Jika k=13, x = pi/12 + 13pi/2 = 79pi/12 ≈ 20.67
Jika k=14, x = pi/12 + 14pi/2 = 85pi/12 ≈ 22.25
...
Nilai tertinggi yang kurang dari 60:
pi/12 + k*pi/2 < 60
k*pi/2 < 60 - pi/12
k < (60 - pi/12) * 2/pi
k < (720 - pi)/6pi ≈ 36.4
Jadi k bisa sampai 36.

Untuk x = pi/6 + k*pi/2:
Jika k=13, x = pi/6 + 13pi/2 = 40pi/6 = 20pi/3 ≈ 20.94
...
Nilai tertinggi yang kurang dari 60:
pi/6 + k*pi/2 < 60
k*pi/2 < 60 - pi/6
k < (60 - pi/6) * 2/pi
k < (360 - pi)/3pi ≈ 36.4
Jadi k bisa sampai 36.

Kemungkinan besar ada kesalahan dalam penulisan soal atau intervalnya. Jika kita ambil contoh nilai yang paling mendekati batas bawah interval:
Ambil k=13 untuk kedua kasus:
x ≈ 20.67 dan x ≈ 20.94.
Kedua nilai ini memiliki gradien akar(3).

Jika soal merujuk pada jawaban tunggal, mungkin ada aspek lain yang terlewatkan atau soal tersebut berasal dari konteks tertentu yang memberikan batasan tambahan.

Namun, jika kita harus memilih satu jawaban, dan mempertimbangkan soal ujian biasanya memiliki jawaban yang lebih sederhana, mungkin ada kesalahan interpretasi pada intervalnya. Misalkan intervalnya adalah 0 < x < pi.

Mari kita asumsikan soal ini meminta salah satu nilai absis yang memenuhi. Salah satu nilai yang memenuhi adalah:
x = 79pi/12 atau x = 20pi/3.

Jika soal ini berasal dari sumber yang menyediakan jawaban, akan lebih mudah untuk mengidentifikasi nilai mana yang dicari.

Tanpa klarifikasi lebih lanjut atau asumsi yang lebih kuat tentang interval, kita tidak dapat memberikan satu jawaban tunggal yang pasti.

Namun, jika kita harus menginterpretasikan ulang soal untuk mendapatkan jawaban tunggal yang masuk akal, mungkin intervalnya merujuk pada derajat. Jika 20 < x < 60 adalah derajat:

Kita sudah menemukan bahwa x = 30° adalah solusi dari 2sin(4x) = sqrt(3) di mana 4x = 120°.
Dalam kasus ini, 30° berada dalam interval 20° < x < 60°.

Jadi, jika intervalnya adalah derajat, absis titik singgungnya adalah 30.