Pada kubus ABCD.EFGH, panjang rusuk 8 cm . a adalah sudut

tan a = √2, sin a = √6/3, cos a = √3/3

Pembahasan

Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm:

Arah AD adalah searah sumbu y (jika kita menganggap AB searah sumbu x dan AE searah sumbu z).
Diagonal ruang HB menghubungkan titik H dan B.
Misalkan titik A berada di (0,0,0). Maka:
B = (8,0,0)
D = (0,8,0)
H = (0,8,8)


Koordinat titik H adalah (0,8,8) dan koordinat titik B adalah (8,0,0).
Vektor HB = B - H = (8-0, 0-8, 0-8) = (8, -8, -8).
Vektor AD = D - A = (0-0, 8-0, 0-0) = (0, 8, 0).

Sudut a adalah sudut antara garis AD dan garis diagonal ruang HB. Kita bisa menggunakan vektor untuk mencari sudut ini.

cos a = (AD . HB) / (|AD| * |HB|)
AD . HB = (0 * 8) + (8 * -8) + (0 * -8) = 0 - 64 + 0 = -64
|AD| = sqrt(0^2 + 8^2 + 0^2) = sqrt(64) = 8
|HB| = sqrt(8^2 + (-8)^2 + (-8)^2) = sqrt(64 + 64 + 64) = sqrt(3 * 64) = 8 * sqrt(3)

cos a = -64 / (8 * 8 * sqrt(3)) = -64 / (64 * sqrt(3)) = -1 / sqrt(3)

Untuk mencari sin a dan tan a, kita bisa menggunakan identitas trigonometri atau membayangkan segitiga siku-siku.
Karena cos a = -1/sqrt(3), ini berarti sudutnya tumpul (karena cosinus negatif di kuadran II dan III). Namun, dalam konteks sudut antara dua garis, kita biasanya menganggap sudut terkecil yang dibentuk, sehingga cosinus akan positif. Mari kita periksa kembali penempatan vektor atau pemahaman sudut.

Atau, kita bisa menggunakan sudut antara vektor yang berlawanan arah jika diperlukan. Mari kita definisikan ulang arah.

Anggap rusuk AB di sumbu X, AD di sumbu Y, AE di sumbu Z. Titik A=(0,0,0).
B=(8,0,0), C=(8,8,0), D=(0,8,0)
E=(0,0,8), F=(8,0,8), G=(8,8,8), H=(0,8,8)

Vektor AD = D - A = (0,8,0).
Vektor HB = B - H = (8-0, 0-8, 0-8) = (8, -8, -8).

Sudut antara AD dan HB. AD adalah rusuk tegak ke arah sumbu Y. HB adalah diagonal yang turun.

Jika kita ambil sudut antara vektor $\vec{DA}$ dan $\vec{HB}$:
$\vec{DA} = A - D = (0, -8, 0)$.
$\vec{HB} = (8, -8, -8)$.

$\cos \alpha = \frac{\vec{DA} \cdot \vec{HB}}{|\vec{DA}| |\vec{HB}|} = \frac{(0)(8) + (-8)(-8) + (0)(-8)}{\sqrt{0^2+(-8)^2+0^2} \sqrt{8^2+(-8)^2+(-8)^2}} = \frac{64}{8 \sqrt{192}} = \frac{64}{8 \sqrt{64 \times 3}} = \frac{64}{8 \times 8 \sqrt{3}} = \frac{64}{64 \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Karena $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$, kita dapat mencari $\sin \alpha$ dan $\tan \alpha$:
$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
$\sin^2 \alpha + (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = 1$
$\sin^2 \alpha + \frac{3}{9} = 1$
$\sin^2 \alpha + \frac{1}{3} = 1$
$\sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
$\sin \alpha = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sqrt{6}/3}{\sqrt{3}/3} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2}$.

Jadi, $\tan a = \sqrt{2}$, $\sin a = \frac{\sqrt{6}}{3}$, dan $\cos a = \frac{\sqrt{3}}{3}$.