Pada kubus ABCDEFGH diketahui P adalah titik potong tengah

Nilai sin beta adalah sqrt(6)/3.

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan geometri ruang, khususnya kubus dan sudut antara bidang.

Diketahui kubus ABCDEFGH.
P adalah titik potong tengah rusuk AE.
Kita perlu mencari sudut antara bidang PFH dan bidang BDHF.

Bidang BDHF adalah bidang diagonal kubus yang memuat diagonal ruang.
Bidang PFH juga merupakan bidang diagonal.

Untuk mencari sudut antara dua bidang, kita perlu mencari garis potong kedua bidang tersebut, lalu mengambil titik pada garis potong tersebut dan menarik garis tegak lurus ke garis potong dari masing-masing bidang.

Bidang PFH dan BDHF berpotongan pada garis FH.
Ambil titik P pada bidang PFH. Tarik garis dari P yang tegak lurus terhadap FH. Misalkan titik tersebut adalah Q.
Bidang BDHF juga tegak lurus terhadap FH.

Dalam kubus, diagonal bidang (seperti FH) berpotongan di tengah.
Mari kita gunakan koordinat.
Misalkan panjang rusuk kubus adalah 'a'.
A = (0, 0, a)
B = (a, 0, a)
C = (a, a, a)
D = (0, a, a)
E = (0, 0, 0)
F = (a, 0, 0)
G = (a, a, 0)
H = (0, a, 0)

P adalah titik potong tengah rusuk AE. Maka P = (0, 0, a/2).

Bidang BDHF:
Titik B=(a,0,a), D=(0,a,a), H=(0,a,0), F=(a,0,0).
Bidang ini dibentuk oleh vektor BD = (-a, a, 0) dan BF = (0, 0, -a).
Normal bidang BDHF (n1) tegak lurus BD dan BF. n1 = (a, a, 0).

Bidang PFH:
Titik P=(0, 0, a/2), F=(a, 0, 0), H=(0, a, 0).
Bidang ini dibentuk oleh vektor PF = (a, 0, -a/2) dan PH = (0, a, -a/2).
Normal bidang PFH (n2) tegak lurus PF dan PH. n2 = (a/2, a/2, a^2).

Sudut beta antara dua bidang adalah sudut antara normal kedua bidang tersebut.
cos(beta) = |n1 . n2| / (|n1| * |n2|)
n1 . n2 = (a * a/2) + (a * a/2) + (0 * a^2) = a^2/2 + a^2/2 = a^2
|n1| = sqrt(a^2 + a^2 + 0^2) = sqrt(2a^2) = a*sqrt(2)
|n2| = sqrt((a/2)^2 + (a/2)^2 + (a^2)^2) = sqrt(a^2/4 + a^2/4 + a^4) = sqrt(a^2/2 + a^4)

Ada cara yang lebih mudah dengan menggunakan proyeksi.

Perhatikan irisan kubus:
Bidang BDHF adalah persegi panjang dengan sisi a dan a*sqrt(2).
Bidang PFH adalah segitiga.

Mari kita cari tinggi dari P ke FH di bidang PFH.
Dalam segitiga siku-siku EFH, FH adalah diagonal bidang, panjangnya a*sqrt(2).
Di bidang PFH, P di tengah AE. F di pojok, H di pojok.
PF = sqrt(a^2 + (a/2)^2) = sqrt(a^2 + a^2/4) = sqrt(5a^2/4) = a*sqrt(5)/2
PH = sqrt(a^2 + (a/2)^2) = sqrt(a^2 + a^2/4) = sqrt(5a^2/4) = a*sqrt(5)/2
FH = a*sqrt(2)
Segitiga PFH adalah segitiga sama kaki.

Bidang BDHF memotong bidang PFH di garis FH.
Kita perlu mencari garis dari P yang tegak lurus FH di bidang PFH. Ini adalah garis tinggi dari P ke FH di segitiga PFH.
Misalkan Q adalah titik tengah FH. PQ tegak lurus FH.
Panjang PQ adalah tinggi segitiga sama kaki PFH dengan alas FH.
PQ^2 = PF^2 - (FH/2)^2
PQ^2 = (5a^2/4) - (a*sqrt(2)/2)^2
PQ^2 = 5a^2/4 - (2a^2/4)
PQ^2 = 3a^2/4
PQ = a*sqrt(3)/2

Sekarang, kita perlu garis dari P yang tegak lurus FH di bidang BDHF. Karena bidang BDHF tegak lurus rusuk AE, maka proyeksi P (yaitu A atau E) ke FH akan berada pada bidang BDHF.

Mari kita lihat proyeksi P ke bidang BDHF.
Proyeksi P ke bidang BDHF adalah titik di bidang BDHF yang paling dekat dengan P.
Karena P berada di rusuk AE, dan bidang BDHF tegak lurus rusuk AE di titik A dan E (secara konsep), proyeksi P ke bidang BDHF adalah proyeksi tegak lurus dari P ke garis FH.

Perhatikan bidang ABFE. Diagonal AF. Bidang BDHF memotong bidang ABFE di garis BF. Bidang PFH memotong bidang ABFE di garis PF.

Mari kita gunakan proyeksi.
Sudut antara bidang PFH dan BDHF adalah sudut antara garis PQ dan garis proyeksi PQ pada bidang BDHF.

Proyeksi P pada bidang BDHF:
Karena P adalah titik tengah AE, dan AE tegak lurus bidang ABCD, maka proyeksi P pada bidang BDHF adalah titik yang terletak pada garis potong bidang PFH dan BDHF, yaitu FH, dan tegak lurus terhadap FH. Ini adalah titik Q, titik tengah FH.
Jadi, proyeksi PQ pada bidang BDHF adalah PQ itu sendiri.

Ini berarti beta adalah sudut antara PQ dan FH.
Karena PQ tegak lurus FH, maka sudutnya adalah 90 derajat. Ini tidak mungkin karena sin(90) = 1.

Ada kesalahan dalam penalaran proyeksi.

Kita perlu mencari sudut antara dua vektor normal bidang.

Revisi dengan vektor:
Bidang BDHF normalnya n1 = (1, 1, 0) (setelah dibagi a).
Bidang PFH normalnya n2 = (1/2, 1/2, a).
Ini masih salah karena koordinat P perlu diperjelas.

Misal kubus dengan panjang rusuk 2.
E = (0,0,0), A = (0,0,2)
P = (0,0,1)
F = (2,0,0)
H = (0,2,0)

Bidang PFH:
P=(0,0,1), F=(2,0,0), H=(0,2,0)
vektor PF = (2, 0, -1)
vektor PH = (0, 2, -1)
Normal n2 = PF x PH = (0*(-1) - (-1)*2, (-1)*0 - 2*(-1), 2*2 - 0*0) = (2, 2, 4). Bisa disederhanakan menjadi (1, 1, 2).

Bidang BDHF:
B=(2,0,2), D=(0,2,2), H=(0,2,0), F=(2,0,0)
vektor BD = (-2, 2, 0)
vektor BF = (0, 0, -2)
Normal n1 = BD x BF = (2*(-2) - 0*0, 0*0 - (-2)*(-2), (-2)*0 - 2*0) = (-4, -4, 0). Bisa disederhanakan menjadi (1, 1, 0).

cos(beta) = |n1 . n2| / (|n1| * |n2|)
n1 . n2 = (1*1) + (1*1) + (0*2) = 1 + 1 + 0 = 2
|n1| = sqrt(1^2 + 1^2 + 0^2) = sqrt(2)
|n2| = sqrt(1^2 + 1^2 + 2^2) = sqrt(1 + 1 + 4) = sqrt(6)

cos(beta) = 2 / (sqrt(2) * sqrt(6)) = 2 / sqrt(12) = 2 / (2*sqrt(3)) = 1/sqrt(3)

Jika cos(beta) = 1/sqrt(3), maka sin(beta) dapat dicari menggunakan identitas sin^2(beta) + cos^2(beta) = 1.
sin^2(beta) = 1 - cos^2(beta)
sin^2(beta) = 1 - (1/sqrt(3))^2
sin^2(beta) = 1 - 1/3
sin^2(beta) = 2/3
sin(beta) = sqrt(2/3) = sqrt(2)/sqrt(3) = sqrt(6)/3

Nilai sin beta = sqrt(6)/3.