Pada segi empat OPQR, tunjukkan bahwa jumlah panjang

Jumlah panjang sisi-sisi segi empat lebih besar dari jumlah panjang diagonal-diagonalnya.

Pembahasan

Pada segi empat OPQR, kita ingin menunjukkan bahwa jumlah panjang sisi-sisinya lebih besar daripada jumlah panjang diagonal-diagonalnya. Ini adalah aplikasi dari ketaksamaan segitiga. 

Misalkan diagonal-diagonalnya berpotongan di titik S. Kita dapat menerapkan ketaksamaan segitiga pada segitiga-segitiga yang terbentuk:

1. Pada \(\triangle OPS\): OP < OS + PS
2. Pada \(\triangle QPS\): PQ < PS + QS
3. Pada \(\triangle QRS\): QR < QR + RS
4. Pada \(\triangle RPS\): RS < RS + PS

Jika kita menjumlahkan keempat ketaksamaan di atas:
OP + PQ + QR + RS < (OS + PS) + (PS + QS) + (QR + RS) + (RS + PS)
OP + PQ + QR + RS < OS + QR + 2PS + QS + RS
Ini belum mengarah ke hasil yang diinginkan secara langsung. Mari kita gunakan pendekatan lain dengan menerapkan ketaksamaan segitiga pada segitiga yang dibentuk oleh sisi-sisi dan setengah diagonal:

Diagonal-diagonalnya adalah PR dan OQ. Misalkan mereka berpotongan di S.

Dalam \(\triangle OPQ\), OQ < OP + PQ
Dalam \(\triangle PQR\), PR < PQ + QR
Dalam \(\triangle ORS\), PR < OR + RS
Dalam \(\triangle OPS\), OQ < OP + OS

Mari kita gunakan ketaksamaan segitiga pada segitiga yang dibentuk oleh sisi-sisi segi empat dan diagonal-diagonalnya. 

Pada \(\triangle OPQ\): OQ < OP + PQ
Pada \(\triangle PQR\): PR < PQ + QR
Pada \(\triangle QRO\): OQ < QR + RO
Pada \(\triangle ROP\): PR < RO + OP

Jika kita menjumlahkan ketaksamaan:
(OQ + PR) + (OQ + PR) < (OP + PQ) + (PQ + QR) + (QR + RO) + (RO + OP)
2(OQ + PR) < 2(OP + PQ + QR + RO)
OQ + PR < OP + PQ + QR + RO

Ini menunjukkan bahwa jumlah panjang diagonal lebih kecil dari jumlah panjang sisi. Dengan kata lain, jumlah panjang sisi lebih besar dari jumlah panjang diagonal.