Pada segitiga ABC, diketahui sisi c, sudut a, b, dan gamma.

Panjang sisi b = c * (sin beta / sin gamma), Luas = c^2 sin a sin b / (2 sin gamma).

Pembahasan

Untuk menyatakan panjang sisi b dalam b, gamma, dan c pada segitiga ABC, kita dapat menggunakan aturan sinus. Aturan sinus menyatakan bahwa perbandingan antara panjang sisi dengan sinus sudut yang berhadapan adalah konstan untuk semua sisi dalam segitiga. Dengan kata lain:
a/sin alpha = b/sin beta = c/sin gamma.
Dari hubungan ini, kita bisa mendapatkan:
b = c * (sin beta / sin gamma).

Selanjutnya, untuk membuktikan bahwa luas segitiga adalah c^2 sin a sin b/2 sin gamma, kita dapat memulai dengan rumus luas segitiga standar yang menggunakan dua sisi dan sudut yang diapitnya, yaitu Luas = 1/2 * a * b * sin gamma.
Kita tahu dari aturan sinus bahwa a = c * (sin alpha / sin gamma) dan b = c * (sin beta / sin gamma).
Substitusikan kedua persamaan ini ke dalam rumus luas:
Luas = 1/2 * [c * (sin alpha / sin gamma)] * [c * (sin beta / sin gamma)] * sin gamma
Luas = 1/2 * c^2 * (sin alpha * sin beta / sin^2 gamma) * sin gamma
Luas = c^2 * sin alpha * sin beta / (2 * sin gamma).

Jadi, panjang sisi b dapat dinyatakan sebagai b = c * (sin beta / sin gamma), dan luas segitiga adalah c^2 sin a sin b / (2 sin gamma).