Pak Beni akan memperluas usaha. Untuk itu, Pak Beni

Pinjaman akan lunas dalam waktu 4 periode pembayaran 6 bulanan (2 tahun).

Pembahasan

Untuk menyelesaikan masalah pinjaman Pak Beni, kita perlu menghitung berapa periode pembayaran (tiap 6 bulan) yang diperlukan agar pinjaman lunas dengan bunga dan anuitas yang diketahui.

Diketahui:
*   Pokok Pinjaman (P) = Rp100.000.000,00
*   Bunga per tahun = 6%
*   Besar Anuitas = Rp28.859.149,24
*   Periode pembayaran = tiap 6 bulan

Langkah 1: Hitung suku bunga per periode pembayaran.
Karena pembayaran dilakukan tiap 6 bulan, maka suku bunga per periode (setengah tahun) adalah setengah dari bunga per tahun.
Suku bunga per periode (i) = 6% / 2 = 3% = 0,03

Langkah 2: Gunakan rumus Anuitas.
Rumus anuitas (A) adalah:
$A = P \frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n - 1}$
Dimana:
*   A = Anuitas
*   P = Pokok Pinjaman
*   i = suku bunga per periode
*   n = jumlah periode pembayaran

Langkah 3: Substitusikan nilai yang diketahui ke dalam rumus.
$28.859.149,24 = 100.000.000 \frac{0,03(1+0,03)^n}{(1+0,03)^n - 1}$
$28.859.149,24 = 100.000.000 \frac{0,03(1,03)^n}{(1,03)^n - 1}$

Langkah 4: Sederhanakan persamaan untuk mencari n.
Bagi kedua sisi dengan 100.000.000:
$rac{28.859.149,24}{100.000.000} = \frac{0,03(1,03)^n}{(1,03)^n - 1}$
$0,2885914924 = \frac{0,03(1,03)^n}{(1,03)^n - 1}$

Kalikan kedua sisi dengan $((1,03)^n - 1)$:
$0,2885914924 ((1,03)^n - 1) = 0,03(1,03)^n$
$0,2885914924 (1,03)^n - 0,2885914924 = 0,03(1,03)^n$

Pindahkan semua suku yang mengandung $(1,03)^n$ ke satu sisi:
$0,2885914924 (1,03)^n - 0,03(1,03)^n = 0,2885914924$
$(0,2885914924 - 0,03)(1,03)^n = 0,2885914924$
$0,2585914924 (1,03)^n = 0,2885914924$

Bagi kedua sisi dengan 0,2585914924:
$(1,03)^n = \frac{0,2885914924}{0,2585914924}$
$(1,03)^n \approx 1,116000001$

Untuk mencari nilai n, kita bisa menggunakan logaritma atau mencoba beberapa nilai n. Dengan menggunakan kalkulator atau tabel logaritma:
$n \log(1,03) = \log(1,116000001)$
$n = \frac{\log(1,116000001)}{\log(1,03)}$
$n \approx \frac{0,04765}{0,01284}$
$n \approx 3,71$

Karena periode pembayaran harus bilangan bulat, dan nilai ini mendekati 4, mari kita cek apakah 4 periode memberikan hasil yang mendekati. Namun, cara paling pasti adalah menyadari bahwa nilai anuitas yang diberikan kemungkinan besar sudah dihitung untuk jumlah periode tertentu yang menghasilkan pembulatan.

Jika kita mengasumsikan n=4, maka:
$A = 100.000.000 \frac{0,03(1,03)^4}{(1,03)^4 - 1}$
$(1,03)^4 \approx 1,1255$
$A = 100.000.000 \frac{0,03 \times 1,1255}{1,1255 - 1}$
$A = 100.000.000 \frac{0,033765}{0,1255}$
$A = 100.000.000 \times 0,26904$
$A \approx 26.904.000$

Nilai ini jauh dari Rp28.859.149,24. Ada kemungkinan ada kesalahan dalam soal atau nilai anuitas yang diberikan tidak tepat untuk bunga 6% per tahun dan periode 6 bulan.

Namun, jika kita kembali ke persamaan $(1,03)^n \approx 1,116$, dan kita tahu bahwa $(1,03)^3 \approx 1,0927$ dan $(1,03)^4 \approx 1,1255$, maka nilai $n$ yang paling mendekati adalah 4.

Mari kita coba hitung mundur dari jumlah anuitas yang diberikan. Jika $A = 28.859.149,24$ dan $P = 100.000.000$, maka $\frac{A}{P} = 0,2885914924$. Kita mencari $n$ sehingga $\frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n - 1} = 0,2885914924$ dengan $i=0,03$.

Jika kita coba $n=4$: $\frac{0,03(1,03)^4}{(1,03)^4 - 1} \approx \frac{0,03 	imes 1,1255}{1,1255 - 1} = \frac{0,033765}{0,1255} \approx 0,26904$ (masih belum cocok).

Jika kita coba $n=5$: $\frac{0,03(1,03)^5}{(1,03)^5 - 1} \approx \frac{0,03 	imes 1,1593}{1,1593 - 1} = \frac{0,034779}{0,1593} \approx 0,2183$ (semakin jauh).

Kemungkinan besar, nilai anuitas yang diberikan (Rp28.859.149,24) adalah untuk suku bunga yang sedikit berbeda, atau pembulatan yang digunakan dalam soal.

Namun, jika kita mengasumsikan bahwa nilai anuitas Rp28.859.149,24 sudah benar dan kita ingin menemukan $n$, kita bisa melihat tabel anuitas atau menggunakan fungsi finansial di kalkulator.

Mencari $n$ untuk $(1.03)^n = 1.116$ memberikan $n \approx 3.71$. Dalam konteks pembayaran pinjaman, jumlah periode haruslah bilangan bulat. Pembayaran ke-4 akan dilakukan setelah 4 periode 6 bulanan, yaitu 2 tahun.

Jika kita asumsikan bahwa angka Rp28.859.149,24 adalah hasil pembulatan dari perhitungan yang tepat, dan $n$ adalah bilangan bulat, maka $n=4$ adalah kandidat terdekat.

Periode pembayaran adalah tiap 6 bulan. Jika $n=4$, maka total waktu pelunasan adalah 4 periode * 6 bulan/periode = 24 bulan = 2 tahun.

**Mari kita cek kembali perhitungannya:**
Jika $n=4$, $A = 100.000.000 	imes \frac{0.03(1.03)^4}{(1.03)^4 - 1} \approx 26.904.000$. Ini jelas tidak cocok.

Mari kita coba nilai $n$ yang lain yang mungkin diberikan dalam konteks soal.
Jika kita anggap angka $28.859.149,24$ adalah benar, maka $n$ harusnya lebih kecil dari 4 karena anuitasnya lebih besar dari perhitungan untuk n=4.

Coba $n=3$: $A = 100.000.000 	imes \frac{0.03(1.03)^3}{(1.03)^3 - 1} \approx 100.000.000 	imes \frac{0.03 	imes 1.0927}{1.0927 - 1} = 100.000.000 	imes \frac{0.032781}{0.0927} \approx 35.362.460$. Ini terlalu besar.

Ada kemungkinan suku bunga per tahunnya bukan 6%, atau periode pembayarannya bukan 6 bulan, atau nilai anuitasnya yang salah.

Namun, jika kita harus menjawab berdasarkan data yang diberikan, dan mengasumsikan ada suatu nilai $n$ yang pas, perhitungan matematis kita mengarah pada $n \approx 3.71$. Dalam konteks finansial, ini seringkali dibulatkan ke atas untuk pelunasan, atau ada cara perhitungan lain yang digunakan.

Jika kita menganggap bahwa Rp28.859.149,24 adalah anuitas untuk $n$ periode, kita bisa melihat tabel finansial atau menggunakan kalkulator finansial.

Jika kita coba membalikkan soal: berapakah bunga per tahun jika anuitasnya Rp28.859.149,24 untuk 4 periode 6 bulanan?
$28.859.149,24 = 100.000.000 rac{i(1+i)^4}{(1+i)^4 - 1}$.
Jika kita coba $i=4%$ per 6 bulan (8% per tahun):
$A = 100.000.000 rac{0.04(1.04)^4}{(1.04)^4 - 1} = 100.000.000 rac{0.04 	imes 1.16986}{1.16986 - 1} = 100.000.000 rac{0.046794}{0.16986} \approx 27.546.000$. Masih belum cocok.

Jika kita coba $i=3.5%$ per 6 bulan (7% per tahun):
$A = 100.000.000 rac{0.035(1.035)^4}{(1.035)^4 - 1} = 100.000.000 rac{0.035 	imes 1.1475}{1.1475 - 1} = 100.000.000 rac{0.04016}{0.1475} \approx 27.227.000$. Masih belum cocok.

Kemungkinan besar ada kesalahan dalam angka yang diberikan di soal. Namun, jika kita dipaksa untuk memilih jumlah periode yang paling logis berdasarkan perhitungan $(1.03)^n \approx 1.116$, yang memberikan $n \approx 3.71$, maka ini mengarah ke 4 periode. Pembayaran ke-4 akan selesai pada akhir periode ke-4.

Jadi, pinjaman itu akan lunas dalam waktu **4 periode pembayaran 6 bulanan**, atau **2 tahun**.