Pak Heri akan mengangkuat 60 ton barang dari gudang ke

a. Min Z = 40.000x + 30.000y dengan kendala 3x + 2y \ge 60, x + y \ge 24, x \ge 0, y \ge 0. b. Biaya minimum adalah Rp 840.000,00.

Pembahasan

Mari kita buat model matematika untuk masalah pengangkutan barang Pak Heri.

Diketahui:
- Total barang yang diangkut: 60 ton
- Kapasitas truk jenis I: 3 ton
- Kapasitas truk jenis II: 2 ton
- Biaya sewa truk jenis I: Rp 40.000,00
- Biaya sewa truk jenis II: Rp 30.000,00
- Jumlah truk yang disewa sekurang-kurangnya 24 truk.

a. Membuat model matematika:
Misalkan:
x = jumlah truk jenis I
y = jumlah truk jenis II

Kendala kapasitas angkut:
Jumlah barang yang diangkut oleh truk jenis I adalah 3x ton.
Jumlah barang yang diangkut oleh truk jenis II adalah 2y ton.
Total barang yang diangkut harus setidaknya 60 ton:
3x + 2y \ge 60

Kendala jumlah truk:
Jumlah total truk yang disewa adalah x + y.
Sekurang-kurangnya 24 truk berarti:
x + y \ge 24

Kendala non-negatif:
Jumlah truk tidak bisa negatif:
x \ge 0
y \ge 0

Fungsi tujuan (biaya yang dikeluarkan):
Biaya untuk truk jenis I adalah 40.000x.
Biaya untuk truk jenis II adalah 30.000y.
Total biaya, Z = 40.000x + 30.000y.

Model matematika lengkapnya adalah:
Meminimumkan Z = 40.000x + 30.000y
Dengan kendala:
1) 3x + 2y \ge 60
2) x + y \ge 24
3) x \ge 0
4) y \ge 0

b. Menentukan biaya minimum:
Kita akan menggunakan metode grafik atau substitusi untuk mencari nilai x dan y yang memenuhi kendala dan meminimalkan Z.

Titik potong dari kendala:
1) 3x + 2y = 60
   Jika x = 0, 2y = 60 => y = 30. Titik (0, 30)
   Jika y = 0, 3x = 60 => x = 20. Titik (20, 0)

2) x + y = 24
   Jika x = 0, y = 24. Titik (0, 24)
   Jika y = 0, x = 24. Titik (24, 0)

Titik potong antara 3x + 2y = 60 dan x + y = 24:
Kalikan persamaan kedua dengan 2: 2x + 2y = 48
Kurangkan dari persamaan pertama:
(3x + 2y) - (2x + 2y) = 60 - 48
x = 12

Substitusikan x = 12 ke x + y = 24:
12 + y = 24
y = 12
Titik potongnya adalah (12, 12).

Titik-titik sudut (feasible region) yang perlu diuji:
Karena kedua ketidaksetaraan adalah '\ge', maka daerah yang memenuhi adalah di atas kedua garis.
Titik-titik yang perlu diuji adalah titik potong yang berada di daerah yang memenuhi kendala:
- Titik potong garis 1 dengan sumbu y (jika memenuhi kendala 2): (0, 30). Periksa kendala 2: 0 + 30 = 30 \ge 24 (Memenuhi).
- Titik potong garis 2 dengan sumbu x (jika memenuhi kendala 1): (24, 0). Periksa kendala 1: 3(24) + 2(0) = 72 \ge 60 (Memenuhi).
- Titik potong kedua garis: (12, 12). Periksa kendala 1: 3(12) + 2(12) = 36 + 24 = 60 \ge 60 (Memenuhi). Periksa kendala 2: 12 + 12 = 24 \ge 24 (Memenuhi).

Sekarang kita evaluasi fungsi tujuan Z = 40.000x + 30.000y di titik-titik sudut:
1. Di titik (0, 30):
   Z = 40.000(0) + 30.000(30) = 0 + 900.000 = Rp 900.000,00

2. Di titik (24, 0):
   Z = 40.000(24) + 30.000(0) = 960.000 + 0 = Rp 960.000,00

3. Di titik (12, 12):
   Z = 40.000(12) + 30.000(12) = 480.000 + 360.000 = Rp 840.000,00

Biaya minimum dikeluarkan Pak Heri adalah Rp 840.000,00 ketika ia menyewa 12 truk jenis I dan 12 truk jenis II.