Penyelesaian dari persamaan logaritma

Penyelesaiannya adalah x = 4.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan logaritma 5log(x^2+3x-4)=5log(5x+4), kita dapat menggunakan sifat dasar logaritma bahwa jika log_b(M) = log_b(N), maka M = N.

Dalam kasus ini, basis logaritmanya sama (yaitu 5), sehingga kita dapat menyamakan argumennya:
x^2 + 3x - 4 = 5x + 4

Selanjutnya, kita pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat:
x^2 + 3x - 5x - 4 - 4 = 0
x^2 - 2x - 8 = 0

Sekarang, kita faktorkan persamaan kuadrat tersebut:
(x - 4)(x + 2) = 0

Ini memberikan dua kemungkinan solusi untuk x:
x - 4 = 0  =>  x = 4
x + 2 = 0  =>  x = -2

Namun, kita perlu memeriksa apakah solusi-solusi ini valid dengan memastikan bahwa argumen logaritma tidak negatif (karena logaritma dari bilangan negatif tidak terdefinisi dalam bilangan real).

Untuk x = 4:
Argumen pertama: x^2 + 3x - 4 = (4)^2 + 3(4) - 4 = 16 + 12 - 4 = 24. (Positif, valid)
Argumen kedua: 5x + 4 = 5(4) + 4 = 20 + 4 = 24. (Positif, valid)

Untuk x = -2:
Argumen pertama: x^2 + 3x - 4 = (-2)^2 + 3(-2) - 4 = 4 - 6 - 4 = -6. (Negatif, tidak valid)
Argumen kedua: 5x + 4 = 5(-2) + 4 = -10 + 4 = -6. (Negatif, tidak valid)

Karena argumen logaritma untuk x = -2 menghasilkan nilai negatif, maka x = -2 bukanlah solusi yang valid.

Oleh karena itu, satu-satunya penyelesaian yang valid untuk persamaan logaritma tersebut adalah x = 4.