Diketahui titik A(-2,3) dan B(4,5). Persamaan garis

y = -3x + 3 +/- 9*sqrt(10)

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang tegak lurus dengan garis AB, kita perlu melakukan langkah-langkah berikut:
1. Cari gradien garis AB.
2. Tentukan gradien garis singgung yang tegak lurus dengan garis AB.
3. Cari titik pusat dan jari-jari lingkaran.
4. Gunakan rumus persamaan garis singgung lingkaran.

Gradien garis AB (m_AB) = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (5 - 3) / (4 - (-2)) = 2 / 6 = 1/3.
Karena garis singgung tegak lurus dengan AB, maka gradien garis singgung (m_PGS) adalah -1 / m_AB = -1 / (1/3) = -3.

Persamaan lingkaran: x^2 + y^2 - 4x + 6y - 68 = 0.
Untuk mencari pusat dan jari-jari, kita ubah ke bentuk (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2.
(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) = 68
(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 68 + 4 + 9
(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 81
Pusat lingkaran (a, b) = (2, -3).
Jari-jari lingkaran (r) = sqrt(81) = 9.

Rumus persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m adalah y - b = m(x - a) +/- r * sqrt(1 + m^2).
Substitusikan nilai a, b, m, dan r:
y - (-3) = -3(x - 2) +/- 9 * sqrt(1 + (-3)^2)
y + 3 = -3x + 6 +/- 9 * sqrt(1 + 9)
y + 3 = -3x + 6 +/- 9 * sqrt(10)
y = -3x + 3 +/- 9 * sqrt(10).

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang tegak lurus garis AB adalah y = -3x + 3 + 9*sqrt(10) atau y = -3x + 3 - 9*sqrt(10).