penyelesaian dari pertidaksamaan Tentukanlah dengan

a. Semua bilangan real, b. x < -sqrt(6) atau x > sqrt(6), c. -1 < x < 9.

Pembahasan

Kita akan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat berikut:

a. \(4x^2 - 12x + 9 \ge 0\)

Pertama, faktorkan ekspresi kuadratnya. Perhatikan bahwa \(4x^2 - 12x + 9\) adalah bentuk kuadrat sempurna \((ax-b)^2\) atau \((ax+b)^2\). Di sini, \(4x^2 = (2x)^2\) dan \(9 = 3^2\), serta \(-12x = 2 \times (2x) \times (-3)\). Jadi, ekspresi tersebut dapat difaktorkan menjadi \((2x - 3)^2\).

\((2x - 3)^2 \ge 0\)

Kuadrat dari bilangan real manapun selalu non-negatif (lebih besar dari atau sama dengan nol). Oleh karena itu, pertidaksamaan ini benar untuk semua nilai x bilangan real.

*   Jawaban: Semua bilangan real.

b. \(x^2 - 6 > 0\)

Faktorkan ekspresi kuadratnya. Ini adalah bentuk selisih dua kuadrat \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\), di mana \(a=x\) dan \(b=\sqrt{6}\).

\((x - \sqrt{6})(x + \sqrt{6}) > 0\)

Cari akar-akarnya: \(x = \sqrt{6}\) dan \(x = -\sqrt{6}\).
Buat garis bilangan dengan titik-titik \(-\sqrt{6}\) dan \(\sqrt{6}\). Uji interval:
*   Untuk \(x < -\sqrt{6}\) (misal x = -3): \((-3)^2 - 6 = 9 - 6 = 3 > 0\) (Benar)
*   Untuk \(-\sqrt{6} < x < \sqrt{6}\) (misal x = 0): \((0)^2 - 6 = -6 < 0\) (Salah)
*   Untuk \(x > \sqrt{6}\) (misal x = 3): \((3)^2 - 6 = 9 - 6 = 3 > 0\) (Benar)

Karena pertidaksamaan adalah \(> 0\), kita ambil interval di mana hasilnya positif.

*   Jawaban: \(x < -\sqrt{6}\) atau \(x > \sqrt{6}\).

c. \((x - 3)(x + 3) < 8x\)

Jabarkan dan susun ulang menjadi bentuk kuadrat standar \(ax^2 + bx + c < 0\).

\(x^2 - 9 < 8x\)
\(x^2 - 8x - 9 < 0\)

Faktorkan ekspresi kuadratnya. Cari dua bilangan yang hasil kalinya -9 dan jumlahnya -8. Bilangan tersebut adalah -9 dan 1.

\((x - 9)(x + 1) < 0\)

Cari akar-akarnya: \(x = 9\) dan \(x = -1\).
Buat garis bilangan dengan titik-titik -1 dan 9. Uji interval:
*   Untuk \(x < -1\) (misal x = -2): \((-2)^2 - 8(-2) - 9 = 4 + 16 - 9 = 11 > 0\) (Salah)
*   Untuk \(-1 < x < 9\) (misal x = 0): \((0)^2 - 8(0) - 9 = -9 < 0\) (Benar)
*   Untuk \(x > 9\) (misal x = 10): \((10)^2 - 8(10) - 9 = 100 - 80 - 9 = 11 > 0\) (Salah)

Karena pertidaksamaan adalah \(< 0\), kita ambil interval di mana hasilnya negatif.

*   Jawaban: \(-1 < x < 9\).