Penyelesaian pertidaksamaan 2^x<+2^(-x)<8 1/8 adalah . . .

Penyelesaian pertidaksamaan 2^x + 2^(-x) < 8 1/8 adalah -3 < x < 3.

Pembahasan

Pertidaksamaan yang diberikan adalah 2^x + 2^(-x) < 8.
Misalkan y = 2^x. Maka, 2^(-x) = 1/y.
Pertidaksamaan menjadi y + 1/y < 8.
Untuk menyelesaikan ini, kita perlu memastikan y > 0 karena y = 2^x selalu positif.
Kalikan kedua sisi dengan y (karena y positif, arah pertidaksamaan tidak berubah):
y^2 + 1 < 8y
Pindahkan semua suku ke satu sisi:
y^2 - 8y + 1 < 0
Untuk menemukan kapan ekspresi ini sama dengan nol, kita gunakan rumus kuadratik untuk y:
y = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
Dalam kasus ini, a=1, b=-8, c=1.
y = [8 ± sqrt((-8)^2 - 4 * 1 * 1)] / (2 * 1)
y = [8 ± sqrt(64 - 4)] / 2
y = [8 ± sqrt(60)] / 2
y = [8 ± 2 * sqrt(15)] / 2
y = 4 ± sqrt(15)
Jadi, akar-akarnya adalah y1 = 4 - sqrt(15) dan y2 = 4 + sqrt(15).
Karena parabola y^2 - 8y + 1 membuka ke atas, ekspresi y^2 - 8y + 1 < 0 ketika y berada di antara akar-akarnya.
Jadi, 4 - sqrt(15) < y < 4 + sqrt(15).
Sekarang kita substitusikan kembali y = 2^x:
4 - sqrt(15) < 2^x < 4 + sqrt(15).
Untuk menemukan nilai x, kita ambil logaritma basis 2 dari semua bagian:
log₂(4 - sqrt(15)) < x < log₂(4 + sqrt(15)).
Nilai perkiraan: sqrt(15) kira-kira 3.87.
Jadi, log₂(4 - 3.87) < x < log₂(4 + 3.87)
log₂(0.13) < x < log₂(7.87)
Menggunakan kalkulator:
log₂(0.13) ≈ -2.94
log₂(7.87) ≈ 2.97
Jadi, penyelesaiannya adalah sekitar -2.94 < x < 2.97.
Namun, jika pertidaksamaan yang dimaksud adalah 2^x + 2^(-x) < 8 1/8, maka kita perlu menghitung nilai 8 1/8 = 65/8 = 8.125.

Pertidaksamaan: 2^x + 2^(-x) < 65/8
Misalkan y = 2^x:
y + 1/y < 65/8
Kalikan dengan 8y (karena y > 0):
8y^2 + 8 < 65y
8y^2 - 65y + 8 < 0
Cari akar-akar persamaan kuadrat 8y^2 - 65y + 8 = 0.
Kita bisa menggunakan faktorisasi atau rumus kuadratik.
Faktorisasi:
(8y - 1)(y - 8) = 0
Jadi, akar-akarnya adalah y = 1/8 dan y = 8.
Karena parabola 8y^2 - 65y + 8 membuka ke atas, pertidaksamaan 8y^2 - 65y + 8 < 0 terpenuhi ketika 1/8 < y < 8.
Substitusikan kembali y = 2^x:
1/8 < 2^x < 8
Karena 1/8 = 2⁻³ dan 8 = 2³:
2⁻³ < 2^x < 2³
Karena basisnya (2) lebih besar dari 1, kita dapat membandingkan eksponennya secara langsung:
-3 < x < 3.
Jadi, penyelesaian pertidaksamaan 2^x + 2^(-x) < 8 1/8 adalah -3 < x < 3.