Kelas 12Kelas 11Kelas 10mathEksponen Dan Logaritma
Penyelesaian pertidaksamaan 2^x<+2^(-x)<8 1/8 adalah . . .
Pertanyaan
Penyelesaian pertidaksamaan 2^x<+2^(-x)<8 1/8 adalah . . . .
Solusi
Verified
Penyelesaian pertidaksamaan 2^x + 2^(-x) < 8 1/8 adalah -3 < x < 3.
Pembahasan
Pertidaksamaan yang diberikan adalah 2^x + 2^(-x) < 8. Misalkan y = 2^x. Maka, 2^(-x) = 1/y. Pertidaksamaan menjadi y + 1/y < 8. Untuk menyelesaikan ini, kita perlu memastikan y > 0 karena y = 2^x selalu positif. Kalikan kedua sisi dengan y (karena y positif, arah pertidaksamaan tidak berubah): y^2 + 1 < 8y Pindahkan semua suku ke satu sisi: y^2 - 8y + 1 < 0 Untuk menemukan kapan ekspresi ini sama dengan nol, kita gunakan rumus kuadratik untuk y: y = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a Dalam kasus ini, a=1, b=-8, c=1. y = [8 ± sqrt((-8)^2 - 4 * 1 * 1)] / (2 * 1) y = [8 ± sqrt(64 - 4)] / 2 y = [8 ± sqrt(60)] / 2 y = [8 ± 2 * sqrt(15)] / 2 y = 4 ± sqrt(15) Jadi, akar-akarnya adalah y1 = 4 - sqrt(15) dan y2 = 4 + sqrt(15). Karena parabola y^2 - 8y + 1 membuka ke atas, ekspresi y^2 - 8y + 1 < 0 ketika y berada di antara akar-akarnya. Jadi, 4 - sqrt(15) < y < 4 + sqrt(15). Sekarang kita substitusikan kembali y = 2^x: 4 - sqrt(15) < 2^x < 4 + sqrt(15). Untuk menemukan nilai x, kita ambil logaritma basis 2 dari semua bagian: log₂(4 - sqrt(15)) < x < log₂(4 + sqrt(15)). Nilai perkiraan: sqrt(15) kira-kira 3.87. Jadi, log₂(4 - 3.87) < x < log₂(4 + 3.87) log₂(0.13) < x < log₂(7.87) Menggunakan kalkulator: log₂(0.13) ≈ -2.94 log₂(7.87) ≈ 2.97 Jadi, penyelesaiannya adalah sekitar -2.94 < x < 2.97. Namun, jika pertidaksamaan yang dimaksud adalah 2^x + 2^(-x) < 8 1/8, maka kita perlu menghitung nilai 8 1/8 = 65/8 = 8.125. Pertidaksamaan: 2^x + 2^(-x) < 65/8 Misalkan y = 2^x: y + 1/y < 65/8 Kalikan dengan 8y (karena y > 0): 8y^2 + 8 < 65y 8y^2 - 65y + 8 < 0 Cari akar-akar persamaan kuadrat 8y^2 - 65y + 8 = 0. Kita bisa menggunakan faktorisasi atau rumus kuadratik. Faktorisasi: (8y - 1)(y - 8) = 0 Jadi, akar-akarnya adalah y = 1/8 dan y = 8. Karena parabola 8y^2 - 65y + 8 membuka ke atas, pertidaksamaan 8y^2 - 65y + 8 < 0 terpenuhi ketika 1/8 < y < 8. Substitusikan kembali y = 2^x: 1/8 < 2^x < 8 Karena 1/8 = 2⁻³ dan 8 = 2³: 2⁻³ < 2^x < 2³ Karena basisnya (2) lebih besar dari 1, kita dapat membandingkan eksponennya secara langsung: -3 < x < 3. Jadi, penyelesaian pertidaksamaan 2^x + 2^(-x) < 8 1/8 adalah -3 < x < 3.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Pertidaksamaan Eksponensial
Section: Sifat Eksponen, Pertidaksamaan Eksponensial
Apakah jawaban ini membantu?