Tentukanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan (2log

Himpunan penyelesaiannya adalah {x | 0 < x <= 2^((5 - sqrt(13))/4) atau x >= 2^((5 + sqrt(13))/4)}, dengan asumsi '2log x' berarti logaritma basis 2.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma (2log x)^2 - 3(2log x) + 1 >= 2log x - 2, pertama-tama kita perlu menyederhanakan pertidaksamaan tersebut. Misalkan y = 2log x. Maka pertidaksamaan menjadi:
y^2 - 3y + 1 >= 2y - 2
y^2 - 5y + 3 >= 0
Selanjutnya, kita cari akar-akar dari persamaan kuadrat y^2 - 5y + 3 = 0 menggunakan rumus kuadratik: y = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a.
Dalam kasus ini, a=1, b=-5, dan c=3.
y = [5 ± sqrt((-5)^2 - 4*1*3)] / (2*1)
y = [5 ± sqrt(25 - 12)] / 2
y = [5 ± sqrt(13)] / 2
Jadi, akar-akarnya adalah y1 = (5 - sqrt(13))/2 dan y2 = (5 + sqrt(13))/2.
Karena pertidaksamaan adalah y^2 - 5y + 3 >= 0, maka solusi untuk y adalah y <= (5 - sqrt(13))/2 atau y >= (5 + sqrt(13))/2.
Sekarang kita substitusikan kembali y = 2log x:
2log x <= (5 - sqrt(13))/2  atau  2log x >= (5 + sqrt(13))/2
log x <= (5 - sqrt(13))/4  atau  log x >= (5 + sqrt(13))/4
Untuk mencari x, kita gunakan sifat logaritma. Jika log x <= a, maka x <= 10^a. Jika log x >= b, maka x >= 10^b. (Asumsi basis logaritma adalah 10).
Namun, soal menggunakan "2log x", yang bisa diartikan sebagai 2 * log(x) atau log basis 2. Jika yang dimaksud adalah logaritma natural (ln) atau logaritma basis 10, maka basisnya perlu diperjelas. Jika "2log x" berarti logaritma dengan basis 2, yaitu ^2log x, maka:
^2log x <= (5 - sqrt(13))/4  atau  ^2log x >= (5 + sqrt(13))/4
x <= 2^((5 - sqrt(13))/4)  atau  x >= 2^((5 + sqrt(13))/4)
Kita juga harus memperhatikan domain logaritma, yaitu x > 0.
Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya adalah {x | 0 < x <= 2^((5 - sqrt(13))/4) atau x >= 2^((5 + sqrt(13))/4)}.