Penyelesaian pertidaksamaan (x-6)/(x-3)>=(x-2)/(x+1) adalah

Penyelesaiannya adalah -1 < x < 3.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan $\frac{x-6}{x-3} \ge \frac{x-2}{x+1}$, kita perlu memindahkan semua suku ke satu sisi dan mencari penyebut bersama.

Langkah 1: Pindahkan semua suku ke satu sisi.
$\frac{x-6}{x-3} - \frac{x-2}{x+1} \ge 0$

Langkah 2: Cari penyebut bersama, yaitu (x-3)(x+1).
$\frac{(x-6)(x+1) - (x-2)(x-3)}{(x-3)(x+1)} \ge 0$

Langkah 3: Jabarkan pembilangnya.
$(x^2 + x - 6x - 6) - (x^2 - 3x - 2x + 6) \ge 0$
$(x^2 - 5x - 6) - (x^2 - 5x + 6) \ge 0$
$x^2 - 5x - 6 - x^2 + 5x - 6 \ge 0$
$-12 \ge 0$

Ini tampaknya salah, mari kita periksa kembali perhitungan.

$(x-6)(x+1) = x^2 + x - 6x - 6 = x^2 - 5x - 6$
$(x-2)(x-3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6$

Pengurangan pembilang:
$(x^2 - 5x - 6) - (x^2 - 5x + 6) = x^2 - 5x - 6 - x^2 + 5x - 6 = -12$

Jadi, pertidaksamaannya menjadi:
$\frac{-12}{(x-3)(x+1)} \ge 0$

Agar nilai pecahan ini positif atau nol, pembilang dan penyebut harus memiliki tanda yang sama, atau pembilang nol (yang tidak mungkin karena -12).

Karena pembilangnya negatif (-12), maka penyebutnya harus negatif agar hasil pembagiannya positif.
$(x-3)(x+1) < 0$

Kita perlu mencari nilai x di mana ekspresi $(x-3)(x+1)$ bernilai negatif. Titik kritisnya adalah x=3 dan x=-1.

Kita bisa menguji interval:
1. x < -1: Misal x = -2. $(-2-3)(-2+1) = (-5)(-1) = 5$ (positif)
2. -1 < x < 3: Misal x = 0. $(0-3)(0+1) = (-3)(1) = -3$ (negatif)
3. x > 3: Misal x = 4. $(4-3)(4+1) = (1)(5) = 5$ (positif)

Kita mencari interval di mana $(x-3)(x+1) < 0$, yaitu pada interval -1 < x < 3.

Selain itu, kita juga harus memastikan bahwa penyebut tidak nol, yaitu x ≠ 3 dan x ≠ -1.

Penyelesaian pertidaksamaan adalah $-1 < x < 3$.

Namun, jika kita melihat kembali $\frac{-12}{(x-3)(x+1)} \ge 0$, ini berarti penyebut $(x-3)(x+1)$ harus negatif. Jadi, intervalnya adalah $-1 < x < 3$.