Penyelesaian sistem persamaan xy+xz+yz=11 xy+xz-yz=5

Nilai x+y+z adalah 13√5/5 atau -13√5/5.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan sistem persamaan ini, kita dapat menjumlahkan dan mengurangkan persamaan-persamaan tersebut untuk mengeliminasi beberapa variabel.

Misalkan:
(1) xy + xz + yz = 11
(2) xy + xz - yz = 5
(3) xy - xz - yz = -1

Jumlahkan (1) dan (2):
(xy + xz + yz) + (xy + xz - yz) = 11 + 5
2xy + 2xz = 16
xy + xz = 8  (4)

Kurangkan (2) dari (1):
(xy + xz + yz) - (xy + xz - yz) = 11 - 5
2yz = 6
yz = 3  (5)

Kurangkan (3) dari (2):
(xy + xz - yz) - (xy - xz - yz) = 5 - (-1)
2xz = 6
xz = 3  (6)

Substitusikan (6) ke (4):
xy + 3 = 8
xy = 5  (7)

Dari (5), y = 3/z. Substitusikan ke (7):
x(3/z) = 5
3x/z = 5
x = 5z/3  (8)

Substitusikan (8) ke (6):
(5z/3)z = 3
5z^2/3 = 3
5z^2 = 9
z^2 = 9/5
z = ±3/√5

Jika z = 3/√5:
x = 5(3/√5)/3 = 5/√5 = √5
y = 3/(3/√5) = √5

Jika z = -3/√5:
x = 5(-3/√5)/3 = -5/√5 = -√5
y = 3/(-3/√5) = -√5

Jadi, penyelesaiannya adalah {√5, √5, 3/√5} atau {-√5, -√5, -3/√5}.

Nilai dari x + y + z:
Jika {√5, √5, 3/√5}, maka x+y+z = √5 + √5 + 3/√5 = 2√5 + 3/√5 = (10+3)/√5 = 13/√5 = 13√5/5.
Jika {-√5, -√5, -3/√5}, maka x+y+z = -√5 - √5 - 3/√5 = -2√5 - 3/√5 = (-10-3)/√5 = -13/√5 = -13√5/5.

Namun, karena soal tidak memberikan batasan tambahan dan biasanya dalam konteks seperti ini dicari nilai positif atau jika ada pilihan ganda, kita perlu memeriksa kembali.

Mari kita cek dengan cara lain. Dari (4) xy+xz=8, dari (5) yz=3, dari (6) xz=3, dari (7) xy=5.
Dari (5) dan (6), jika xz = yz dan z ≠ 0, maka x = y.
Substitusikan x=y ke dalam xy=5: x*x = 5 => x^2 = 5 => x = ±√5.
Jika x = √5, maka y = √5.
Jika x = -√5, maka y = -√5.

Substitusikan x=√5 ke xz=3: √5 * z = 3 => z = 3/√5.
Substitusikan y=√5 ke yz=3: √5 * z = 3 => z = 3/√5.
Jadi, solusi pertama adalah x=√5, y=√5, z=3/√5.

Substitusikan x=-√5 ke xz=3: -√5 * z = 3 => z = -3/√5.
Substitusikan y=-√5 ke yz=3: -√5 * z = 3 => z = -3/√5.
Jadi, solusi kedua adalah x=-√5, y=-√5, z=-3/√5.

Nilai x+y+z:
Untuk solusi pertama: √5 + √5 + 3/√5 = 2√5 + 3/√5 = (10+3)/√5 = 13/√5 = 13√5/5.
Untuk solusi kedua: -√5 - √5 - 3/√5 = -2√5 - 3/√5 = (-10-3)/√5 = -13/√5 = -13√5/5.

Dalam konteks soal ujian, biasanya dicari nilai tunggal jika tidak ada pilihan. Mari kita periksa kembali perhitungan.

Jika kita mengalikan ketiga persamaan yang disederhanakan:
(xy)(xz)(yz) = 5 * 3 * 3
x²y²z² = 45
(xyz)² = 45
xyz = ±√45 = ±3√5

Dari xy=5 dan xyz=±3√5, maka (5)z = ±3√5 => z = ±3√5/5 = ±3/√5.
Dari xz=3 dan xyz=±3√5, maka (3)y = ±3√5 => y = ±√5.
Dari yz=3 dan xyz=±3√5, maka (3)x = ±3√5 => x = ±√5.

Jika z = 3/√5, maka xy = 5. x(3/√5)=3 => x=√5. y(3/√5)=3 => y=√5.
Jadi, x=√5, y=√5, z=3/√5.
x+y+z = √5 + √5 + 3/√5 = 2√5 + 3/√5 = (10+3)/√5 = 13/√5 = 13√5/5.

Jika z = -3/√5, maka xy = 5. x(-3/√5)=3 => x=-√5. y(-3/√5)=3 => y=-√5.
Jadi, x=-√5, y=-√5, z=-3/√5.
x+y+z = -√5 - √5 - 3/√5 = -2√5 - 3/√5 = (-10-3)/√5 = -13/√5 = -13√5/5.

Karena soal meminta nilai x+y+z={x,y,z}, ini menyiratkan solusi tunggal atau bahwa x, y, z adalah satu set nilai. Jika {x, y, z} merujuk pada himpunan penyelesaian, maka x, y, z bisa mengambil nilai dari salah satu set.
Namun, jika soal meminta nilai dari x+y+z, biasanya merujuk pada salah satu solusi yang valid. Dalam banyak konteks ujian, jika ada dua solusi dengan nilai mutlak yang sama tetapi berbeda tanda, dan soal tidak menentukan domain (misalnya bilangan real positif), kedua jawaban bisa dianggap valid tergantung pada cara penyajian soal (misalnya pilihan ganda).

Jika kita mengasumsikan {x,y,z} adalah salah satu triple solusi, maka x+y+z = 13√5/5 atau -13√5/5.
Jika soal hanya meminta satu nilai, dan tanpa konteks tambahan, seringkali nilai positif yang menjadi fokus. Namun, untuk kejelasan, kedua nilai tersebut adalah hasil yang mungkin.