Perhatikan gambar berikut. A B M N Lingkaran dengan pusat

AM x BN = 25 cm².

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan garis singgung persekutuan luar dua lingkaran yang bersinggungan.

Diketahui:
*   Lingkaran dengan pusat M dan N bersinggungan.
*   AB adalah garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran.
*   Panjang AB = 10 cm.

Ditanyakan: Nilai AM × BN.

Dalam konteks ini, AM dan BN mewakili jari-jari dari lingkaran dengan pusat M dan N, secara berturut-turut. Misalkan AM = r1 dan BN = r2.

Ada teorema yang menyatakan bahwa untuk dua lingkaran yang bersinggungan luar, panjang garis singgung persekutuan luarnya (AB) berhubungan dengan jari-jari kedua lingkaran (r1 dan r2) dengan rumus:
AB² = (jarak antara pusat)² - (r1 - r2)²

Namun, dalam kasus spesifik di mana AB adalah garis singgung persekutuan luar dan kedua lingkaran bersinggungan, terdapat sifat geometris yang dapat dimanfaatkan. Jika kita menarik garis dari N sejajar dengan AB hingga memotong perpanjangan AM (atau dari M sejajar AB memotong BN), kita akan membentuk sebuah persegi panjang dan sebuah segitiga siku-siku.

Namun, jika kita mempertimbangkan sifat khusus garis singgung persekutuan luar antara dua lingkaran yang bersinggungan, ada kasus di mana AM * BN sama dengan kuadrat dari panjang garis singgung persekutuan dalam, atau berhubungan dengan panjang garis singgung persekutuan luar.

Sebuah properti yang relevan adalah bahwa jika dua lingkaran bersinggungan di satu titik, dan AB adalah garis singgung persekutuan luar, maka kuadrat panjang AB sama dengan hasil kali diameter lingkaran pertama dan diameter lingkaran kedua. AB² = (2*r1) * (2*r2) = 4*r1*r2.

Namun, soal meminta AM × BN, yaitu r1 × r2.
Jika AB² = 4*r1*r2, maka 10² = 4*r1*r2 => 100 = 4*r1*r2 => r1*r2 = 25.

Jadi, AM × BN = 25 cm².

Perlu dicatat bahwa asumsi bahwa "lingkaran dengan pusat M dan N saling bersinggungan" dan "AB adalah garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran tersebut" mengarah pada teorema ini. Jika M dan N adalah pusat, maka AM adalah jari-jari lingkaran M, dan BN adalah jari-jari lingkaran N.