Perhatikan gambar berikut. B O C A AC dan BC adalah garis

a. OC = 20 cm; b. Sudut ABC = 50°

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan sifat garis singgung lingkaran dan hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling.

Diketahui:
- AC dan BC adalah garis singgung lingkaran berpusat di O.
- OB = 12 cm (jari-jari lingkaran, karena OB tegak lurus dengan garis singgung AC di titik singgung A).
- BC = 16 cm.

a. Menentukan panjang OC:
Karena BC adalah garis singgung dan OB adalah jari-jari yang tegak lurus di titik singgung A, maka segitiga OAC adalah siku-siku di A.
Namun, informasi yang diberikan adalah BC adalah garis singgung. Asumsi yang lebih tepat adalah bahwa OA adalah jari-jari dan tegak lurus dengan garis singgung AC di A, dan OB adalah jari-jari dan tegak lurus dengan garis singgung BC di B.
Jika OB = 12 cm, maka jari-jari lingkaran adalah 12 cm. Ini berarti OA = OB = 12 cm.
Dalam segitiga siku-siku OBC (siku-siku di B karena BC adalah garis singgung dan OB adalah jari-jari):
- OB = 12 cm (sisi tegak)
- BC = 16 cm (sisi tegak)
- OC = sisi miring

Menggunakan teorema Pythagoras:
OC² = OB² + BC²
OC² = (12 cm)² + (16 cm)²
OC² = 144 cm² + 256 cm²
OC² = 400 cm²
OC = √400 cm²
OC = 20 cm

b. Menentukan sudut ABC:
Karena BC adalah garis singgung lingkaran di titik B, maka jari-jari OB tegak lurus dengan garis singgung BC. Ini berarti sudut OBC adalah 90 derajat.
Dalam segitiga OBC, kita memiliki OB = 12 cm, BC = 16 cm, dan OC = 20 cm. Kita dapat mencari sudut-sudutnya.
Namun, yang ditanyakan adalah sudut ABC. Dari gambar, titik A, O, dan B membentuk sudut AOB = 100 derajat. Segitiga OAC dan OBC adalah segitiga siku-siku di A dan B.
Jika kita mengasumsikan bahwa A dan B adalah titik singgung, maka OA ⊥ AC dan OB ⊥ BC. Maka sudut OAC = 90° dan sudut OBC = 90°.
Dalam segiempat OACB, jumlah sudut adalah 360°.
Sudut AOB + Sudut OAC + Sudut ACB + Sudut OBC = 360°
100° + 90° + Sudut ACB + 90° = 360°
280° + Sudut ACB = 360°
Sudut ACB = 360° - 280° = 80°.

Jika yang dimaksud adalah sudut ABC, dan B adalah titik pada lingkaran, serta A dan C adalah titik lain yang membentuk garis singgung, maka perlu klarifikasi lebih lanjut dari gambar.

Namun, jika kita mengacu pada segitiga siku-siku OBC (siku-siku di B):
Untuk mencari sudut ABC, kita perlu informasi lebih lanjut atau klarifikasi gambar. Jika C adalah titik di luar lingkaran, dan BC adalah garis singgung, maka sudut OBC = 90°.
Jika AOB = 100°, dan segitiga OAC serta OBC adalah segitiga siku-siku di A dan B, maka sudut OCB dapat dihitung:
tan(∠OCB) = OB / BC = 12 / 16 = 3/4
∠OCB = arctan(3/4) ≈ 36.87°

Jika pertanyaan mengacu pada sudut yang dibentuk oleh garis singgung BC dan garis AB, maka informasi sudut AOB = 100° menjadi relevan.
Dalam segitiga sama kaki OAB (OA=OB=jari-jari), sudut OAB = sudut OBA = (180° - 100°) / 2 = 80° / 2 = 40°.
Karena OB ⊥ BC, maka sudut OBC = 90°.
Sudut ABC = Sudut OBC - Sudut OBA
Sudut ABC = 90° - 40°
Sudut ABC = 50°.