Diketahui kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk 4 satuan

Jaraknya adalah $3\\sqrt{2}$ satuan panjang.

Pembahasan

Diketahui kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk 4 satuan. Titik X terletak di tengah TW. Kita perlu mencari jarak titik X ke garis QV.

Kita dapat menggunakan sistem koordinat untuk mempermudah perhitungan. Misalkan titik P berada di (0,0,0).

P = (0,0,0)
Q = (4,0,0)
R = (4,4,0)
S = (0,4,0)
T = (0,0,4)
U = (4,0,4)
V = (4,4,4)
W = (0,4,4)

Titik X terletak di tengah TW. Koordinat T adalah (0,0,4) dan W adalah (0,4,4).
Koordinat X = $(\frac{0+0}{2}, \frac{0+4}{2}, \frac{4+4}{2}) = (0, 2, 4)$.

Garis QV melewati titik Q(4,0,0) dan V(4,4,4).

Untuk mencari jarak dari titik X ke garis QV, kita bisa menggunakan rumus:
d = |\vec{QX} x \vec{u}| / |\vec{u}|
dimana $\vec{u}$ adalah vektor arah dari garis QV.

$\\vec{QV} = V - Q = (4-4, 4-0, 4-0) = (0, 4, 4)$.
Panjang vektor $\\vec{u}$ (atau $\\vec{QV}$) = $|\vec{u}| = \\sqrt{0^2 + 4^2 + 4^2} = \\sqrt{16 + 16} = \\sqrt{32} = 4\\sqrt{2}$.

$\\vec{QX} = X - Q = (0-4, 2-0, 4-0) = (-4, 2, 4)$.

Sekarang kita hitung hasil kali silang $\\vec{QX} x \\vec{u}$:
$\\vec{QX} x \\vec{u} = \\begin{vmatrix} i & j & k \\ -4 & 2 & 4 \\ 0 & 4 & 4 \end{vmatrix}$
$= i(2*4 - 4*4) - j(-4*4 - 4*0) + k(-4*4 - 2*0)$
$= i(8 - 16) - j(-16 - 0) + k(-16 - 0)$
$= -8i + 16j - 16k = (-8, 16, -16)$.

Panjang dari hasil kali silang ini adalah:
$|\\vec{QX} x \\vec{u}| = \\sqrt{(-8)^2 + 16^2 + (-16)^2} = \\sqrt{64 + 256 + 256} = \\sqrt{576} = 24$.

Sekarang kita hitung jaraknya:
d = $|\\vec{QX} x \\vec{u}| / |\\vec{u}| = 24 / (4\\sqrt{2}) = 6 / \\sqrt{2} = 6\\sqrt{2} / 2 = 3\\sqrt{2}$.

Jadi, jarak titik X ke garis QV adalah $3\\sqrt{2}$ satuan panjang.