Perhatikan gambar di bawah ini. ABCD adalah sebuah persegi

Berdasarkan perhitungan koordinat dengan D sebagai titik asal, dan Q berimpit dengan A, sudut BAP tidak 90 derajat. Terdapat kemungkinan kesalahan dalam soal.

Pembahasan

Diketahui ABCD adalah sebuah persegi panjang dengan AB = 3 cm dan BC = 2 cm.
Diketahui QD = 2 cm dan DP = 1 cm.
Kita perlu membuktikan bahwa besar sudut BQP = 90 derajat.

Langkah-langkah pembuktian:
1.  **Tentukan koordinat titik-titik pada persegi panjang.**
    Misalkan titik P berada pada sisi CD, dan titik Q berada pada sisi AD.
    Karena ABCD adalah persegi panjang, maka AB sejajar CD dan BC sejajar AD.
    AB = CD = 3 cm
    BC = AD = 2 cm

    Kita bisa menetapkan koordinat:
    A = (0, 2)
    B = (3, 2)
    C = (3, 0)
    D = (0, 0)

    Titik P berada pada CD, dengan DP = 1 cm. Karena D=(0,0) dan C=(3,0), maka P = (1, 0).
    Titik Q berada pada AD, dengan QD = 2 cm. Karena D=(0,0) dan A=(0,2), maka Q = (0, 2).
    Perhatikan bahwa Q berimpit dengan A.

2.  **Periksa posisi titik Q dan P terhadap titik B.**
    Titik B memiliki koordinat (3, 2).
    Titik Q memiliki koordinat (0, 2).
    Titik P memiliki koordinat (1, 0).

    Kita perlu membuktikan bahwa sudut BQP = 90 derajat. Ini berarti vektor QB tegak lurus dengan vektor QP.

3.  **Hitung vektor QB dan QP.**
    Vektor QB = B - Q = (3, 2) - (0, 2) = (3, 0).
    Vektor QP = P - Q = (1, 0) - (0, 2) = (1, -2).

4.  **Hitung perkalian titik (dot product) dari vektor QB dan QP.**
    Jika perkalian titiknya adalah 0, maka kedua vektor tersebut tegak lurus, yang berarti sudut di antara keduanya adalah 90 derajat.
    QB \cdot QP = (3)(1) + (0)(-2)
    QB \cdot QP = 3 + 0
    QB \cdot QP = 3

    Hasil perkalian titiknya bukan 0. Ini menunjukkan ada kekeliruan dalam pemahaman soal atau penempatan titik Q dan P.

    Mari kita coba interpretasi lain dari soal:
    Asumsikan Q terletak pada sisi AD sedemikian rupa sehingga DQ = 2 cm. Jika AD = 2 cm, maka Q sama dengan titik A. Ini yang kita gunakan di atas.
    Asumsikan P terletak pada sisi CD sedemikian rupa sehingga DP = 1 cm. Ini sesuai dengan P = (1, 0) jika D = (0, 0).

    **Revisi Asumsi Penempatan Titik:**
    Kita perlu memastikan Q dan P berada di sisi yang benar dan jaraknya sesuai.
    Misalkan D=(0,0), C=(3,0), B=(3,2), A=(0,2).
    P terletak pada CD dengan DP = 1 cm, maka P = (1, 0).
    Q terletak pada AD dengan QD = 2 cm. Karena AD = 2 cm, maka Q harus berada di titik A. Jadi Q = (0, 2).

    Dengan Q = A, maka kita perlu membuktikan sudut BA P = 90 derajat.
    Vektor AB = B - A = (3, 2) - (0, 2) = (3, 0).
    Vektor AP = P - A = (1, 0) - (0, 2) = (1, -2).
    AB \cdot AP = (3)(1) + (0)(-2) = 3 \neq 0.

    **Kemungkinan Lain:** Titik Q mungkin tidak terletak pada AD, atau penempatan P dan Q berbeda.
    Jika kita mengasumsikan titik Q terletak pada perpanjangan sisi AD, atau jika ada kesalahan dalam soal.

    **Mari kita coba dengan Teorema Pythagoras pada segitiga yang relevan.**
    Jika sudut BQP = 90, maka berlaku $BQ^2 + QP^2 = BP^2$.

    Kita perlu menghitung panjang sisi-sisi segitiga BQP.
    Misalkan D adalah titik asal (0,0).
    A = (0, 2), B = (3, 2), C = (3, 0), D = (0, 0).
    P pada CD, DP = 1 cm => P = (1, 0).
    Q pada AD, QD = 2 cm => Q = (0, 2). Ini berarti Q berimpit dengan A.

    Jadi, kita perlu membuktikan sudut BAP = 90 derajat.
    Segitiga BAP memiliki:
    AB = 3 cm (karena ABCD persegi panjang)
    AP = $\sqrt{(1-0)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ cm.
    BP = $\sqrt{(3-1)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}$ cm.

    Periksa apakah $AB^2 + AP^2 = BP^2$:
    $3^2 + (\sqrt{5})^2 = 9 + 5 = 14$.
    $BP^2 = (\sqrt{8})^2 = 8$.
    Karena $14 \neq 8$, maka sudut BAP bukan 90 derajat.

    **Kesimpulan Sementara:** Dengan interpretasi standar penempatan titik, pernyataan "buktikan bahwa besar sudut BQP=90" tidak dapat dibuktikan. Ada kemungkinan kesalahan dalam soal atau penggambaran posisi titik Q dan P.

    **Jika kita mengasumsikan Q berada di D dan P berada di titik lain:**
    Misalkan Q=D=(0,0).
    P pada CD, DP=1 cm => P=(1,0).
    B=(3,2).
    Kita perlu membuktikan sudut QBP = 90 atau DBP = 90.
    Vektor BD = D - B = (0-3, 0-2) = (-3, -2).
    Vektor BP = P - B = (1-3, 0-2) = (-2, -2).
    BD \cdot BP = (-3)(-2) + (-2)(-2) = 6 + 4 = 10 \neq 0.

    **Jika kita mengasumsikan Q pada AD dan P pada AB:**
    Ini tidak sesuai dengan deskripsi QD=2cm (pada AD) dan DP=1cm (pada CD).

    **Kemungkinan besar ada kesalahan dalam soal atau informasi yang diberikan.** Namun, jika kita harus memberikan jawaban berdasarkan soal, dan jika memang ada konstruksi yang menghasilkan sudut 90 derajat, maka pembuktiannya akan melibatkan penghitungan vektor atau aturan kosinus pada segitiga BQP setelah semua koordinat atau panjang sisi diketahui secara pasti.