Perhatikan gambar di bawah ini!Diketahui segitiga ABC

Gunakan kekongruenan segitiga ACD dan BCF menggunakan kriteria SAS.

Pembahasan

Soal ini meminta pembuktian menggunakan teorema geometri, kemungkinan besar Teorema Pythagoras atau sifat-sifat segitiga dan persegi.

Untuk membuktikan AD = BF pada segitiga ABC sembarang di mana persegi BCDE dan ACFG dibuat di luar segitiga:

Kita dapat menggunakan Kongruensi Segitiga.

Perhatikan Segitiga ADC dan Segitiga BFC:
1. Sisi AC = Sisi FC (karena ACFG adalah persegi, maka semua sisinya sama panjang).
2. Sisi BC = Sisi DC (karena BCDE adalah persegi, maka semua sisinya sama panjang).
3. Sudut ACB = Sudut GCB (karena ACFG adalah persegi, maka sudut-sudutnya 90 derajat).
   Sudut ACD = Sudut ACB + Sudut BCD (karena BCDE adalah persegi, maka sudut BCD = 90 derajat).
   Sudut BCF = Sudut BCA + Sudut ACF (karena ACFG adalah persegi, maka sudut ACF = 90 derajat).

Kita perlu menggunakan sudut yang tepat. Mari kita analisis kembali:

Perhatikan Segitiga ACD dan Segitiga BFC:
1. Sisi AC = Sisi BC (Ini tidak benar, karena segitiga ABC sembarang).

Mari kita gunakan pendekatan yang berbeda:

Perhatikan Segitiga ACD dan Segitiga BFC:
1. AC = BC (Ini belum tentu benar).

Mari kita coba memutar segitiga.

Perhatikan Segitiga ACD dan Segitiga BFC:
1. AC = BC (Ini belum tentu benar).

Mari kita gunakan rotasi.

Jika kita memutar segitiga BFC sebesar 90 derajat berlawanan arah jarum jam mengelilingi titik C, maka:
- Titik B akan berimpit dengan titik A (Ini juga tidak benar).

Mari kita gunakan sifat kongruensi yang lebih umum.

Perhatikan Segitiga ACD dan Segitiga BFC:
1. AC = FC (Sisi persegi ACFG).
2. BC = DC (Sisi persegi BCDE).
3. Sudut ACD = Sudut ACB + Sudut BCD = Sudut ACB + 90°.
4. Sudut BCF = Sudut BCA + Sudut ACF = Sudut BCA + 90°.
   Karena Sudut ACB = Sudut BCA, maka Sudut ACD = Sudut BCF.

Dengan menggunakan kriteria Sisi-Sudut-Sisi (SAS) untuk kekongruenan segitiga:
- Sisi AC = FC
- Sudut ACD = Sudut BCF
- Sisi CD = BC

Maka, Segitiga ACD kongruen dengan Segitiga FCB (Perhatikan urutan titiknya).

Karena kedua segitiga tersebut kongruen, maka sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang.
Sisi AD pada Segitiga ACD bersesuaian dengan sisi BF pada Segitiga FCB.
Oleh karena itu, AD = BF.

Bukti:
1. Diberikan segitiga ABC sembarang.
2. Dibuat persegi BCDE di luar segitiga ABC.
3. Dibuat persegi ACFG di luar segitiga ABC.
4. Akan dibuktikan AD = BF.
5. Perhatikan Segitiga ACD dan Segitiga BCF.
6. AC = FC (sisi persegi ACFG).
7. BC = DC (sisi persegi BCDE).
8. Sudut ACD = Sudut ACB + Sudut BCD. Karena BCDE adalah persegi, Sudut BCD = 90°.
Maka, Sudut ACD = Sudut ACB + 90°.
9. Sudut BCF = Sudut BCA + Sudut ACF. Karena ACFG adalah persegi, Sudut ACF = 90°.
Maka, Sudut BCF = Sudut BCA + 90°.
10. Karena Sudut ACB sama dengan Sudut BCA (sudut yang sama), maka Sudut ACD = Sudut BCF.
11. Berdasarkan kriteria Sisi-Sudut-Sisi (SAS), Segitiga ACD kongruen dengan Segitiga BCF (AC=FC, Sudut ACD = Sudut BCF, CD=BC).
12. Karena Segitiga ACD kongruen dengan Segitiga BCF, maka sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang, yaitu AD = BF.

Terbukti bahwa AD = BF.