perhatikan gambar di bawah ini! Sudut QPR: sudut PQR: sudut

60 derajat (dengan asumsi sudut RQS tidak mempengaruhi perbandingan sudut dalam segitiga atau ada kekeliruan dalam soal).

Pembahasan

Diketahui perbandingan sudut dalam segitiga PQR adalah sudut QPR : sudut PQR : sudut PRQ = 4 : 3 : 5. Diketahui juga besar sudut RQS = 135 derajat.

Karena sudut RQS adalah sudut luar dari segitiga PQR pada titik R, maka sudut RQS = sudut QPR + sudut PQR.

Misalkan sudut QPR = 4a, sudut PQR = 3a, dan sudut PRQ = 5a.

Jumlah sudut dalam segitiga adalah 180 derajat, jadi:
Sudut QPR + sudut PQR + sudut PRQ = 180
4a + 3a + 5a = 180
12a = 180
a = 180 / 12
a = 15

Maka:
Sudut QPR = 4a = 4 * 15 = 60 derajat
Sudut PQR = 3a = 3 * 15 = 45 derajat
Sudut PRQ = 5a = 5 * 15 = 75 derajat

Sekarang kita gunakan informasi sudut luar RQS:
Sudut RQS = Sudut QPR + Sudut PQR
135 = Sudut QPR + Sudut PQR

Jika kita menggunakan perbandingan awal:
Sudut QPR = 4a
Sudut PQR = 3a

Maka:
135 = 4a + 3a
135 = 7a
a = 135 / 7

Mari kita cek kembali soalnya. Mungkin ada kesalahan dalam pemahaman soal atau data yang diberikan. Jika RQS adalah sudut luar pada titik R, maka jumlah QPR dan PQR harus sama dengan RQS.

Namun, jika kita mengasumsikan bahwa sudut PRQ dan sudut RQS adalah sudut berpelurus (membentuk garis lurus), maka:
Sudut PRQ + Sudut RQS = 180
Sudut PRQ + 135 = 180
Sudut PRQ = 180 - 135
Sudut PRQ = 45 derajat

Dengan Sudut PRQ = 5a, maka:
5a = 45
a = 45 / 5
a = 9

Maka:
Sudut QPR = 4a = 4 * 9 = 36 derajat
Sudut PQR = 3a = 3 * 9 = 27 derajat
Sudut PRQ = 5a = 5 * 9 = 45 derajat

Jumlah sudut = 36 + 27 + 45 = 108 derajat. Ini tidak sesuai dengan jumlah sudut dalam segitiga (180 derajat).

Ada kemungkinan bahwa sudut RQS = 135 derajat adalah sudut yang diberikan, dan kita perlu mencari sudut QPR berdasarkan perbandingan dan fakta bahwa jumlah sudut dalam segitiga adalah 180 derajat.

Perbandingan sudut QPR : sudut PQR : sudut PRQ = 4 : 3 : 5
Jumlah perbandingan = 4 + 3 + 5 = 12

Sudut QPR = (4/12) * 180 = 60 derajat
Sudut PQR = (3/12) * 180 = 45 derajat
Sudut PRQ = (5/12) * 180 = 75 derajat

Jika besar sudut RQS adalah 135, dan RQS adalah sudut luar pada titik R, maka sudut PRQ (sudut dalam yang bersebelahan dengan RQS) harusnya 180 - 135 = 45 derajat. 
Namun hasil perhitungan kita menunjukkan Sudut PRQ = 75 derajat.

Mari kita asumsikan ada informasi tambahan yang hilang atau ada kekeliruan dalam soal. Jika kita mengabaikan informasi sudut RQS dan hanya menggunakan perbandingan sudut dalam segitiga, maka besar sudut QPR adalah 60 derajat.