Hasil dari integral 0 1 akar(x^2-x^4) dx adalah ...

1/3

Pembahasan

Soal ini meminta untuk menghitung nilai dari integral tentu $\int_0^1 \sqrt{x^2 - x^4} dx$.

Kita dapat menyederhanakan ekspresi di dalam akar:
$\\sqrt{x^2 - x^4} = \sqrt{x^2(1 - x^2)} = |x| \sqrt{1 - x^2}$

Karena batas integrasi adalah dari 0 sampai 1, maka $x \ge 0$, sehingga $|x| = x$.
Jadi, integralnya menjadi $\int_0^1 x \sqrt{1 - x^2} dx$.

Untuk menyelesaikan integral ini, kita bisa menggunakan substitusi.
Misalkan $u = 1 - x^2$. Maka, $du = -2x dx$, atau $x dx = -\frac{1}{2} du$.

Kita juga perlu mengubah batas integrasi:
Ketika $x = 0$, $u = 1 - 0^2 = 1$.
Ketika $x = 1$, $u = 1 - 1^2 = 0$.

Sekarang substitusikan ke dalam integral:
$\\int_1^0 \sqrt{u} \left(-\frac{1}{2} du\right)$

Kita bisa membalik batas integrasi dengan mengubah tanda negatif di depan:
$=-\frac{1}{2} \int_1^0 u^{1/2} du$
$=\frac{1}{2} \int_0^1 u^{1/2} du$

Sekarang, integralkan $u^{1/2}$ terhadap $u$:
$\\int u^{1/2} du = \frac{u^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} u^{3/2}$

Sekarang terapkan batas integrasi:
$=\frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_0^1$
$=\frac{1}{2} \left( \frac{2}{3} (1)^{3/2} - \frac{2}{3} (0)^{3/2} \right)$
$=\frac{1}{2} \left( \frac{2}{3} - 0 \right)$
$=\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}$
$=\frac{1}{3}$

Jadi, hasil dari integral $\int_0^1 \sqrt{x^2 - x^4} dx$ adalah $\frac{1}{3}$.