Perhatikan gambar disamping! Diketahui vektor a=vektor PQ

$\frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b}$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan sifat-sifat vektor dan perbandingan. Misalkan vektor posisi dari titik P, Q, dan R adalah $\vec{p}$, $\vec{q}$, dan $\vec{r}$.

Diketahui vektor $\vec{a} = \vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p}$ dan vektor $\vec{b} = \vec{RQ} = \vec{q} - \vec{r}$.

Titik A adalah titik tengah PQ, sehingga vektor posisi A adalah $\vec{a}_{pos} = \frac{\vec{p} + \vec{q}}{2}$.

Perbandingan RB:BQ = 3:1. Ini berarti R, B, dan Q segaris, dan vektor $\vec{RB}$ adalah $\frac{3}{4}$ dari vektor $\vec{RQ}$. Atau titik B membagi RQ dengan perbandingan 3:1.

Kita bisa mencari vektor posisi B menggunakan perbandingan:
$\vec{b}_{pos} = \frac{1 \cdot \vec{r} + 3 \cdot \vec{q}}{1+3} = \frac{\vec{r} + 3\vec{q}}{4}$.

Kita ingin mencari vektor $\vec{AB} = \vec{b}_{pos} - \vec{a}_{pos}$.
$\vec{AB} = \frac{\vec{r} + 3\vec{q}}{4} - \frac{\vec{p} + \vec{q}}{2}$
$\vec{AB} = \frac{\vec{r} + 3\vec{q} - 2(\vec{p} + \vec{q})}{4}$
$\vec{AB} = \frac{\vec{r} + 3\vec{q} - 2\vec{p} - 2\vec{q}}{4}$
$\vec{AB} = \frac{\vec{r} + \vec{q} - 2\vec{p}}{4}$

Sekarang, kita perlu menyatakan hasil ini dalam bentuk vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$.
Kita tahu $\vec{a} = \vec{q} - \vec{p}$ dan $\vec{b} = \vec{q} - \vec{r}$, sehingga $\vec{r} = \vec{q} - \vec{b}$.
Substitusikan $\vec{r}$ ke dalam persamaan $\vec{AB}$:
$\vec{AB} = \frac{(\vec{q} - \vec{b}) + \vec{q} - 2\vec{p}}{4}$
$\vec{AB} = \frac{2\vec{q} - 2\vec{p} - \vec{b}}{4}$
$\vec{AB} = \frac{2(\vec{q} - \vec{p}) - \vec{b}}{4}$
$\vec{AB} = \frac{2\vec{a} - \vec{b}}{4}$
$\vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b}$ 

Perlu diperiksa ulang bagaimana titik B membagi RQ. Jika RB:BQ=3:1, maka B lebih dekat ke Q. Sehingga vektor $\vec{OB} = \frac{1\vec{OR} + 3\vec{OQ}}{1+3}$. Jika yang dimaksud adalah titik B membagi segmen RQ sedemikian rupa sehingga $\vec{RB} = 3\vec{BQ}$, maka posisi B adalah:
$\vec{OB} = \frac{1\vec{OR} + 3\vec{OQ}}{1+3}$. Perlu diperhatikan bahwa $\vec{RQ} = \vec{q} - \vec{r}$. Jika RB:BQ = 3:1, maka B membagi RQ dengan perbandingan 3:1 (dari R ke Q). Maka,\n$\vec{OB} = \frac{1 \cdot \vec{r} + 3 \cdot \vec{q}}{1+3}$. Ini sudah benar jika titik B membagi RQ dengan perbandingan 3:1.

Namun, mari kita coba interpretasi lain: titik B membagi RQ sehingga $\vec{RB} = 3 \vec{BQ}$. Ini berarti panjang RB = 3 kali panjang BQ. Total panjang RQ = RB + BQ = 3BQ + BQ = 4BQ. Jadi BQ = 1/4 RQ.
Posisi titik B adalah:\n$\vec{OB} = \vec{OR} + \vec{RB} = \vec{r} + \frac{3}{4}(\vec{q} - \vec{r}) = \vec{r} + \frac{3}{4}\vec{q} - \frac{3}{4}\vec{r} = \frac{1}{4}\vec{r} + \frac{3}{4}\vec{q}$.

Sekarang hitung $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$:
$\vec{AB} = (\frac{1}{4}\vec{r} + \frac{3}{4}\vec{q}) - \frac{\vec{p} + \vec{q}}{2}$
$\vec{AB} = \frac{\vec{r} + 3\vec{q} - 2\vec{p} - 2\vec{q}}{4}$
$\vec{AB} = \frac{\vec{r} + \vec{q} - 2\vec{p}}{4}$

Kita punya $\vec{a} = \vec{q} - \vec{p}$ dan $\vec{b} = \vec{q} - \vec{r}$, maka $\vec{r} = \vec{q} - \vec{b}$.
Substitusikan $\vec{r}$:
$\vec{AB} = \frac{(\vec{q} - \vec{b}) + \vec{q} - 2\vec{p}}{4}$
$\vec{AB} = \frac{2\vec{q} - 2\vec{p} - \vec{b}}{4}$
$\vec{AB} = \frac{2(\vec{q} - \vec{p}) - \vec{b}}{4}$
$\vec{AB} = \frac{2\vec{a} - \vec{b}}{4}$
$\vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b}$.

Asumsi: Jika perbandingan RB:BQ=3:1 berarti titik B membagi ruas garis RQ dengan perbandingan 3:1, maka $\vec{OB} = \frac{1\vec{OR} + 3\vec{OQ}}{1+3}$.
$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \frac{\vec{r} + 3\vec{q}}{4} - \frac{\vec{p} + \vec{q}}{2} = \frac{\vec{r} + 3\vec{q} - 2\vec{p} - 2\vec{q}}{4} = \frac{\vec{r} + \vec{q} - 2\vec{p}}{4}$.
Substitusikan $\vec{r} = \vec{q} - \vec{b}$: $\vec{AB} = \frac{(\vec{q} - \vec{b}) + \vec{q} - 2\vec{p}}{4} = \frac{2\vec{q} - 2\vec{p} - \vec{b}}{4} = \frac{2(\vec{q} - \vec{p}) - \vec{b}}{4} = \frac{2\vec{a} - \vec{b}}{4} = \frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b}$.

Perlu diklarifikasi bagaimana titik B membagi RQ. Jika yang dimaksud adalah $\vec{RB} = 3\vec{BQ}$, maka posisi B adalah $\vec{OB} = \frac{1\vec{r} + 3\vec{q}}{4}$ yang sudah dihitung. Namun, jika yang dimaksud adalah RB:BQ = 3:1 dalam arti titik B membagi RQ dengan perbandingan 3:1, maka $\vec{OB} = \frac{1\vec{r} + 3\vec{q}}{4}$ yang sama. Mari kita coba jika B membagi RQ dengan perbandingan 1:3.
Jika RB:BQ = 1:3, maka $\vec{OB} = \frac{3\vec{r} + 1\vec{q}}{1+3} = \frac{3\vec{r} + \vec{q}}{4}$.
$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \frac{3\vec{r} + \vec{q}}{4} - \frac{\vec{p} + \vec{q}}{2} = \frac{3\vec{r} + \vec{q} - 2\vec{p} - 2\vec{q}}{4} = \frac{3\vec{r} - \vec{q} - 2\vec{p}}{4}$.
Substitusikan $\vec{r} = \vec{q} - \vec{b}$: $\vec{AB} = \frac{3(\vec{q} - \vec{b}) - \vec{q} - 2\vec{p}}{4} = \frac{3\vec{q} - 3\vec{b} - \vec{q} - 2\vec{p}}{4} = \frac{2\vec{q} - 2\vec{p} - 3\vec{b}}{4} = \frac{2(\vec{q} - \vec{p}) - 3\vec{b}}{4} = \frac{2\vec{a} - 3\vec{b}}{4}$.

Kemungkinan lain, perhatikan vektor $\vec{b} = \vec{RQ}$. Jika RB:BQ = 3:1, maka $\vec{RB} = \frac{3}{4}\vec{RQ} = \frac{3}{4}\vec{b}$.
$\,\vec{AB} = \vec{AR} + \vec{RB}$. $\vec{AR} = \vec{AO} + \vec{OR}$. $\vec{AO} = -\vec{OA} = -\frac{\vec{p} + \vec{q}}{2}$.
Ini terlalu rumit. Mari kita gunakan titik P sebagai titik asal (0,0).
$\,\vec{PQ} = \vec{a}$. $\vec{PR} = \vec{PR}$.
$\,\vec{RQ} = \vec{q} - \vec{r} = \vec{b}$.
$\,\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \vec{a}$. Jika P adalah (0,0), maka $\vec{q} = \vec{a}$.
$\,\vec{RQ} = \vec{q} - \vec{r} = \vec{a} - \vec{r} = \vec{b}$, maka $\vec{r} = \vec{a} - \vec{b}$.

Titik A adalah titik tengah PQ. Jika P adalah (0,0), maka $\,\vec{PA} = \frac{1}{2}\vec{PQ} = \frac{1}{2}\vec{a}$. Maka $\,\vec{A} = \frac{1}{2}\vec{a}$.

RB:BQ = 3:1. Ini berarti $\vec{RB} = 3\vec{BQ}$.
$\vec{B} - \vec{R} = 3(\vec{Q} - \vec{B})$.
$\vec{B} - \vec{r} = 3(\vec{q} - \vec{B})$.
$\vec{B} - \vec{r} = 3\vec{q} - 3\vec{B}$.
$4\vec{B} = \vec{r} + 3\vec{q}$.
$\vec{B} = \frac{\vec{r} + 3\vec{q}}{4}$.
Substitusikan $\vec{q} = \vec{a}$ dan $\vec{r} = \vec{a} - \vec{b}$.
$\vec{B} = \frac{(\vec{a} - \vec{b}) + 3\vec{a}}{4} = \frac{4\vec{a} - \vec{b}}{4} = \vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b}$.

Sekarang $\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A}$.
$\vec{AB} = (\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b}) - \frac{1}{2}\vec{a}$.
$\vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b}$.

Jawaban yang benar adalah $\frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b}$. Asumsi ini sesuai dengan soal yang umum. Jika opsi jawaban tidak ada, mungkin ada kesalahan interpretasi.