Perhatikan gambar lingkaran berikut! B(-6,6) A(1,5)

Persamaan lingkaran: (x+3)^2 + (y-2)^2 = 25. Pusat: (-3, 2). Jari-jari: 5.

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan lingkaran, kita perlu mengetahui pusat (h, k) dan jari-jari (r) lingkaran tersebut. Persamaan umum lingkaran adalah (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2.
Dari titik-titik yang diberikan:
A(1,5), B(-6,6), C(-7,-1).
Kita dapat mencari pusat lingkaran dengan mencari titik yang berjarak sama dari ketiga titik tersebut. Namun, cara yang lebih sistematis adalah dengan menggunakan sifat bahwa garis sumbu dari setiap tali busur lingkaran berpotongan di pusat lingkaran.

Misalkan pusat lingkaran adalah (h, k).
Jarak dari pusat ke A sama dengan jarak dari pusat ke B:
(h-1)^2 + (k-5)^2 = (h-(-6))^2 + (k-6)^2
(h-1)^2 + (k-5)^2 = (h+6)^2 + (k-6)^2
h^2 - 2h + 1 + k^2 - 10k + 25 = h^2 + 12h + 36 + k^2 - 12k + 36
-2h - 10k + 26 = 12h - 12k + 72
-2h - 12h - 10k + 12k = 72 - 26
-14h + 2k = 46
-7h + k = 23  (Persamaan 1)

Jarak dari pusat ke B sama dengan jarak dari pusat ke C:
(h-(-6))^2 + (k-6)^2 = (h-(-7))^2 + (k-(-1))^2
(h+6)^2 + (k-6)^2 = (h+7)^2 + (k+1)^2
h^2 + 12h + 36 + k^2 - 12k + 36 = h^2 + 14h + 49 + k^2 + 2k + 1
12h - 12k + 72 = 14h + 2k + 50
12h - 14h - 12k - 2k = 50 - 72
-2h - 14k = -22
h + 7k = 11  (Persamaan 2)

Sekarang kita punya sistem dua persamaan linear:
1) -7h + k = 23
2) h + 7k = 11

Dari Persamaan 1, k = 23 + 7h.
Substitusikan ke Persamaan 2:
h + 7(23 + 7h) = 11
h + 161 + 49h = 11
50h = 11 - 161
50h = -150
h = -3

Substitusikan h = -3 ke k = 23 + 7h:
k = 23 + 7(-3)
k = 23 - 21
k = 2

Jadi, pusat lingkaran adalah (-3, 2).

Sekarang kita hitung jari-jari (r) dengan menghitung jarak dari pusat (-3, 2) ke salah satu titik, misalnya A(1, 5):
r^2 = (1 - (-3))^2 + (5 - 2)^2
r^2 = (1 + 3)^2 + (3)^2
r^2 = 4^2 + 9
r^2 = 16 + 9
r^2 = 25
r = 5

1. Persamaan lingkaran tersebut adalah (x - (-3))^2 + (y - 2)^2 = 25, atau (x+3)^2 + (y-2)^2 = 25.
2. Pusat lingkaran adalah (-3, 2) dan jari-jari lingkaran adalah 5.