Perhatikan grafik berikut y 4 3 2 -2 -1 2 4 6 x Daerah yang

Nilai maksimum dari fungsi objektif adalah 13.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai maksimum dari fungsi objektif f(x, y) = 5x + 3y pada daerah penyelesaian yang diarsir, kita perlu mengidentifikasi titik-titik sudut (titik-titik pojok) dari daerah tersebut dan mensubstitusikan koordinat setiap titik sudut ke dalam fungsi objektif. Nilai terbesar yang dihasilkan adalah nilai maksimumnya.

Dari grafik:
1. Perhatikan garis yang melalui titik (2, 0) dan (0, 4). Persamaan garis ini adalah 2x + y = 4.
2. Perhatikan garis yang melalui titik (4, 0) dan (0, 2). Persamaan garis ini adalah x + 2y = 4.
3. Perhatikan garis vertikal x = 2.

Daerah penyelesaian adalah daerah yang dibatasi oleh garis-garis ini dan memenuhi pertidaksamaan linear yang sesuai (ditentukan dari arah arsiran).

Titik-titik sudut dari daerah yang diarsir adalah:

a. Titik potong antara garis 2x + y = 4 dan sumbu x (y=0):
   2x + 0 = 4 => x = 2. Titik sudutnya adalah (2, 0).

b. Titik potong antara garis x + 2y = 4 dan sumbu y (x=0):
   0 + 2y = 4 => y = 2. Titik sudutnya adalah (0, 2).

c. Titik potong antara garis 2x + y = 4 dan garis x = 2:
   Substitusikan x = 2 ke dalam 2x + y = 4:
   2(2) + y = 4 => 4 + y = 4 => y = 0. Titik sudutnya adalah (2, 0) (sudah teridentifikasi).

d. Titik potong antara garis x + 2y = 4 dan garis x = 2:
   Substitusikan x = 2 ke dalam x + 2y = 4:
   2 + 2y = 4 => 2y = 2 => y = 1. Titik sudutnya adalah (2, 1).

e. Titik potong antara garis 2x + y = 4 dan garis x + 2y = 4:
   Kalikan persamaan pertama dengan 2: 4x + 2y = 8.
   Kurangkan persamaan kedua dari persamaan yang telah dimodifikasi:
   (4x + 2y) - (x + 2y) = 8 - 4
   3x = 4 => x = 4/3.
   Substitusikan x = 4/3 ke dalam 2x + y = 4:
   2(4/3) + y = 4 => 8/3 + y = 4 => y = 4 - 8/3 => y = 12/3 - 8/3 = 4/3. Titik sudutnya adalah (4/3, 4/3).

Titik-titik sudut yang relevan berdasarkan arsiran pada grafik adalah (2, 0), (2, 1), dan (4/3, 4/3).

Sekarang, substitusikan koordinat titik-titik sudut ini ke dalam fungsi objektif f(x, y) = 5x + 3y:

1. Untuk titik (2, 0):
   f(2, 0) = 5(2) + 3(0) = 10 + 0 = 10.

2. Untuk titik (2, 1):
   f(2, 1) = 5(2) + 3(1) = 10 + 3 = 13.

3. Untuk titik (4/3, 4/3):
   f(4/3, 4/3) = 5(4/3) + 3(4/3) = 20/3 + 12/3 = 32/3 ≈ 10.67.

Nilai maksimum dari fungsi objektif f(x, y) = 5x + 3y adalah nilai terbesar di antara hasil perhitungan di atas.

Nilai maksimumnya adalah 13.