Perhatikan kubus A B C D . E F G H pada gambar berikut. H G

Volume limas terpancung bagian bawah adalah 504 cm³.

Pembahasan

Untuk menentukan volume limas terpancung bagian bawah, kita perlu menghitung volume kubus dan volume limas T.EFGH, kemudian mengurangkannya.

Diketahui:
- Panjang rusuk kubus (s) = 12 cm
- T adalah titik perpotongan diagonal bidang sisi atas EFGH.
- Bidang PQRS memotong limas di tengah rusuk AE, BF, CG, DH.

1. Volume Kubus:
Volume Kubus = s³ = 12³ = 1728 cm³

2. Volume Limas T.ABCD:
Alas limas adalah persegi ABCD dengan sisi 12 cm. Titik T berada di tengah bidang atas EFGH. Jarak T ke bidang alas ABCD adalah tinggi limas, yaitu setengah dari tinggi kubus = 12 cm / 2 = 6 cm.
Volume Limas T.ABCD = (1/3) * Luas Alas * Tinggi
Luas Alas ABCD = s² = 12² = 144 cm²
Volume Limas T.ABCD = (1/3) * 144 cm² * 6 cm = 288 cm³

3. Volume Limas T.EFGH:
Alas limas adalah persegi EFGH dengan sisi 12 cm. Titik T berada di tengah bidang atas EFGH, sehingga T berimpit dengan pusat bidang EFGH. Jarak T ke bidang alas EFGH adalah 0. Ini berarti limas T.EFGH memiliki volume 0.

*Koreksi Pemahaman Soal:* Soal ini tampaknya merujuk pada limas yang dibentuk oleh titik T (pusat bidang atas) dan alas ABCD. Limas terpancung bagian bawah terjadi ketika bidang PQRS memotong limas T.ABCD. Bidang PQRS sejajar dengan bidang ABCD dan EFGH.

Mari kita perjelas pemahaman mengenai limas T.ABCD dan pemotongannya oleh bidang PQRS:
- Limas T.ABCD memiliki alas persegi ABCD (sisi 12 cm) dan tinggi 6 cm (jarak pusat EFGH ke pusat ABCD).
- Bidang PQRS memotong rusuk AE, BF, CG, DH di tengah-tengah. Ini berarti bidang PQRS sejajar dengan bidang alas ABCD dan EFGH.
- PQRS membentuk persegi di dalam kubus.

Kita perlu mencari volume limas yang dipotong oleh bidang PQRS. Bidang PQRS ini sejajar dengan alas ABCD. Jarak dari T ke bidang PQRS perlu dihitung.

Karena P, Q, R, S berada di tengah AE, BF, CG, DH, maka bidang PQRS memotong kubus pada ketinggian setengah dari tinggi kubus, yaitu 6 cm dari alas ABCD.

Jarak T ke bidang PQRS:
Titik T adalah pusat bidang EFGH. Jarak dari T ke bidang EFGH adalah 0. Jarak dari T ke bidang ABCD adalah 6 cm.
Bidang PQRS berada di tengah antara EFGH dan ABCD, pada ketinggian 6 cm dari ABCD.
Jadi, jarak T ke bidang PQRS adalah 6 cm (jarak T ke pusat ABCD) - 6 cm (ketinggian PQRS dari ABCD) = 0 cm. Ini masih belum tepat.

Mari kita asumsikan T adalah titik puncak piramida, dan ABCD adalah alasnya. Jarak T ke ABCD adalah 6 cm.
Bidang PQRS sejajar dengan ABCD dan memotong AE, BF, CG, DH di tengah. Ini berarti bidang PQRS berada pada ketinggian 6 cm dari alas ABCD.

Jika T adalah titik di atas pusat bidang EFGH, dan tinggi kubus 12 cm, maka T berada 12 cm dari ABCD.
Jika T adalah titik perpotongan diagonal bidang sisi atas, T adalah pusat bidang EFGH.

*Asumsi Baru:* T adalah titik puncak limas, dan ABCD adalah alasnya. Tinggi limas adalah 12 cm (jarak dari pusat EFGH ke pusat ABCD).

Jika T adalah pusat EFGH, dan ABCD adalah alasnya, maka tinggi limas adalah 12 cm.
Volume Limas T.ABCD = (1/3) * Luas Alas ABCD * Tinggi
Volume Limas T.ABCD = (1/3) * 12² * 12 = (1/3) * 144 * 12 = 576 cm³

Bidang PQRS memotong rusuk AE, BF, CG, DH di tengah. Ini berarti bidang PQRS sejajar dengan ABCD dan EFGH, dan berada tepat di tengah ketinggian kubus (yaitu pada ketinggian 6 cm dari ABCD).

Limas terpancung (frustum) dibentuk ketika limas dipotong oleh bidang yang sejajar dengan alasnya.
Dalam kasus ini, limas T.ABCD dipotong oleh bidang PQRS.

Perhatikan limas T.EFGH. Titik T adalah pusat EFGH. Jika kita menganggap T sebagai puncak, maka limas T.ABCD memiliki alas ABCD dan tinggi 12 cm. Bidang PQRS memotong limas pada ketinggian 6 cm dari alas ABCD (karena P, Q, R, S di tengah AE, BF, CG, DH).

Jarak dari T ke bidang PQRS adalah 12 cm - 6 cm = 6 cm.

Jadi, kita memiliki limas T.ABCD yang dipotong oleh bidang PQRS. Limas yang lebih kecil di atas bidang PQRS adalah limas T.PQRS.
Panjang rusuk alas ABCD = 12 cm.
Karena PQRS di tengah rusuk vertikal, maka PQRS adalah persegi dengan panjang rusuk 6 cm (setengah dari panjang rusuk kubus).

Volume Limas T.PQRS:
Alas PQRS adalah persegi dengan sisi 6 cm.
Tinggi limas T.PQRS adalah jarak dari T ke bidang PQRS, yaitu 6 cm.
Volume Limas T.PQRS = (1/3) * Luas Alas PQRS * Tinggi
Volume Limas T.PQRS = (1/3) * 6² * 6 = (1/3) * 36 * 6 = 72 cm³

Volume Limas Terpancung (bagian bawah) = Volume Limas T.ABCD - Volume Limas T.PQRS
Volume Limas Terpancung = 576 cm³ - 72 cm³ = 504 cm³.

*Re-evaluasi Soal:* "Titik T merupakan titik perpotongan garis diagonal pada bidang sisi bagian atas." Ini berarti T adalah pusat dari persegi EFGH.
"Selanjutnya dibuat limas T . A B C D ." Ini berarti T adalah puncak dan ABCD adalah alasnya.
"Jika limas T . A B C D dipotong oleh bidang P Q R S di mana titik P, Q, R, S , berturut terletak di tengah garis A E, B F, C G , dan D H ."

Panjang rusuk kubus = 12 cm.
Alas ABCD adalah persegi dengan sisi 12 cm.
Tinggi kubus = 12 cm. Titik T berada di pusat bidang atas EFGH.
Jarak dari T ke bidang alas ABCD adalah 12 cm.

Volume Limas T.ABCD = (1/3) * Luas Alas ABCD * Tinggi
Volume Limas T.ABCD = (1/3) * (12 cm)² * (12 cm)
Volume Limas T.ABCD = (1/3) * 144 cm² * 12 cm = 576 cm³.

Bidang PQRS memotong rusuk AE, BF, CG, DH di tengah. Bidang PQRS sejajar dengan bidang ABCD dan EFGH.
Karena PQRS memotong rusuk AE, BF, CG, DH di tengah, maka bidang PQRS berada pada setengah ketinggian kubus dari alas ABCD, yaitu pada ketinggian 6 cm dari ABCD.

Limas yang dipotong adalah limas T.ABCD oleh bidang PQRS.
Ini membentuk limas terpancung T.PQRS.ABCD.
Kita perlu menghitung volume limas T.PQRS.

Titik P adalah titik tengah AE. Titik Q adalah titik tengah BF. Titik R adalah titik tengah CG. Titik S adalah titik tengah DH.
Bidang PQRS membentuk persegi di dalam kubus.

Karena PQRS berada pada ketinggian 6 cm dari ABCD, dan T berada 12 cm dari ABCD, maka jarak dari T ke bidang PQRS adalah 12 cm - 6 cm = 6 cm.

Panjang sisi alas PQRS:
Perhatikan bidang ABFE. P di tengah AE, Q di tengah BF. PQ adalah garis penghubung dua titik tengah, sehingga PQ sejajar AB dan PQ = 1/2 AB = 1/2 * 12 cm = 6 cm.
Jadi, alas limas T.PQRS adalah persegi PQRS dengan sisi 6 cm.

Volume Limas T.PQRS = (1/3) * Luas Alas PQRS * Tinggi (jarak T ke PQRS)
Volume Limas T.PQRS = (1/3) * (6 cm)² * (6 cm)
Volume Limas T.PQRS = (1/3) * 36 cm² * 6 cm = 72 cm³.

Volume limas terpancung bagian bawah adalah volume limas T.ABCD dikurangi volume limas T.PQRS.
Volume Limas Terpancung = Volume Limas T.ABCD - Volume Limas T.PQRS
Volume Limas Terpancung = 576 cm³ - 72 cm³ = 504 cm³.

Kesimpulan: Volume limas terpancung bagian bawah adalah 504 cm³.