Perhatikanlah gambar berikut C beta b a alpha A D B

Identitas cos(a-b)=cos a cos b+sin a sin b dapat ditunjukkan menggunakan lingkaran satuan dan rumus jarak atau aturan kosinus.

Pembahasan

Untuk menunjukkan bahwa cos(a-b) = cos a cos b + sin a sin b dengan menyatakan luas segitiga sebagai luas dari segitiga lainnya, kita bisa menggunakan sebuah konstruksi geometris.

Perhatikan sebuah lingkaran satuan dengan pusat di O. Ambil titik A pada sumbu x positif, sehingga koordinat A adalah (1, 0).
Ambil titik P pada lingkaran satuan dengan sudut putar b dari sumbu x positif. Koordinat P adalah (cos b, sin b).
Ambil titik Q pada lingkaran satuan dengan sudut putar -a dari sumbu x positif (atau a searah jarum jam). Koordinat Q adalah (cos(-a), sin(-a)) = (cos a, -sin a).

Sudut antara OP dan OQ adalah a + b.

Sekarang, kita akan menggunakan dua cara untuk menghitung kuadrat jarak antara P dan Q (PQ²).

Cara 1: Menggunakan rumus jarak.
PQ² = (cos b - cos a)² + (sin b - (-sin a))²
PQ² = (cos b - cos a)² + (sin b + sin a)²
PQ² = (cos² b - 2 cos b cos a + cos² a) + (sin² b + 2 sin b sin a + sin² a)
PQ² = (cos² b + sin² b) + (cos² a + sin² a) - 2 cos b cos a + 2 sin b sin a
Karena cos²x + sin²x = 1, maka:
PQ² = 1 + 1 - 2 cos a cos b + 2 sin a sin b
PQ² = 2 - 2 cos a cos b + 2 sin a sin b

Cara 2: Menggunakan aturan kosinus pada segitiga OPQ.
Dalam segitiga OPQ, sisi OP = 1 (jari-jari lingkaran satuan), sisi OQ = 1 (jari-jari lingkaran satuan), dan sudut POQ = a + b.
Menurut aturan kosinus:
PQ² = OP² + OQ² - 2 OP * OQ * cos(sudut POQ)
PQ² = 1² + 1² - 2 * 1 * 1 * cos(a + b)
PQ² = 1 + 1 - 2 cos(a + b)
PQ² = 2 - 2 cos(a + b)

Menyamakan kedua ekspresi untuk PQ²:
2 - 2 cos a cos b + 2 sin a sin b = 2 - 2 cos(a + b)
-2 cos a cos b + 2 sin a sin b = -2 cos(a + b)

Bagi kedua sisi dengan -2:
cos a cos b - sin a sin b = cos(a + b)

Ini menunjukkan identitas untuk cos(a+b). Untuk mendapatkan cos(a-b), kita bisa mengganti b dengan -b:
cos(a - (-b)) = cos a cos(-b) - sin a sin(-b)
Karena cos(-b) = cos b dan sin(-b) = -sin b:
cos(a + b) = cos a cos b - sin a (-sin b)
cos(a + b) = cos a cos b + sin a sin b

Ini adalah identitas yang dicari.