Persamaan 4x^3+13x^2+(p+1)x+2=0 mempunyai sepasang akar

Nilai p = 17/2 dan akar-akarnya adalah -1/2, (-11+sqrt(57))/8, dan (-11-sqrt(57))/8.

Pembahasan

Misalkan akar-akar persamaan 4x^3+13x^2+(p+1)x+2=0 adalah \(\alpha\), \(\beta\), dan \(\gamma\).
Karena sepasang akar berkebalikan, kita bisa misalkan \(\alpha = \frac{1}{\beta}\).
Menurut teorema Vieta:
1. \(\alpha \beta \gamma = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}\)
2. \(\alpha \beta + \alpha \gamma + \beta \gamma = \frac{p+1}{4}\)
3. \(\alpha + \beta + \gamma = -\frac{13}{4}\)

Dari (1), karena \(\alpha = \frac{1}{\beta}\), maka \(\alpha \beta = 1\). Sehingga:
\(1 \cdot \gamma = -\frac{1}{2}\)  => \(\gamma = -\frac{1}{2}\)

Karena \(\gamma = -\frac{1}{2}\) adalah salah satu akar, maka jika disubstitusikan ke persamaan awal, persamaan akan bernilai 0:
4(-\frac{1}{2})^3 + 13(-\frac{1}{2})^2 + (p+1)(-\frac{1}{2}) + 2 = 0
4(-\frac{1}{8}) + 13(\frac{1}{4}) - \frac{1}{2}(p+1) + 2 = 0
-\frac{1}{2} + \frac{13}{4} - \frac{1}{2}p - \frac{1}{2} + 2 = 0
(Multiply by 4 to clear fractions)
-2 + 13 - 2p - 2 + 8 = 0
17 - 2p = 0
2p = 17
\(p = \frac{17}{2}\)

Sekarang kita cari akar-akar lainnya. Kita tahu \(\gamma = -\frac{1}{2}\) dan \(\alpha \beta = 1\). Kita gunakan teorema Vieta (3):
\(\alpha + \beta + \gamma = -\frac{13}{4}\)
\(\alpha + \beta - \frac{1}{2} = -\frac{13}{4}\)
\(\alpha + \beta = -\frac{13}{4} + \frac{1}{2} = -\frac{13}{4} + \frac{2}{4} = -\frac{11}{4}\)

Kita punya sistem persamaan:
1. \(\alpha \beta = 1\)
2. \(\alpha + \beta = -\frac{11}{4}\)

Dari (1), \(\beta = \frac{1}{\alpha}\). Substitusikan ke (2):
\(\alpha + \frac{1}{\alpha} = -\frac{11}{4}\)
Multiply by \(\alpha\):
\(\alpha^2 + 1 = -\frac{11}{4}\alpha\)
Multiply by 4:
\(4\alpha^2 + 4 = -11\alpha\)
\(4\alpha^2 + 11\alpha + 4 = 0\)
Faktorkan persamaan kuadrat ini:
\((4\alpha + ?)( \alpha + ?) = 0\)
Kita cari dua bilangan yang hasil kalinya 4 dan jika dikalikan silang dengan koefisiennya berjumlah 11. Coba (4\alpha + 1)(\alpha + 4) = 0.
4\(\alpha\)^2 + 16\(\alpha\) + \(\alpha\) + 4 = 4\(\alpha\)^2 + 17\(\alpha\) + 4. Ini salah.
Coba (4\alpha + ?)(\alpha + ?) = 0. Faktor dari 4 adalah (1,4) atau (2,2). Coba (4\alpha+?)(\alpha+?).
Coba (4\alpha+1)(\alpha+4) -> 4\(\alpha\)^2 + 16\(\alpha\) + \(\alpha\) + 4 -> 4\(\alpha\)^2 + 17\(\alpha\) + 4. (Salah)
Coba (4\alpha+4)(\alpha+1) -> 4\(\alpha\)^2 + 4\(\alpha\) + 4\(\alpha\) + 4 -> 4\(\alpha\)^2 + 8\(\alpha\) + 4. (Salah)
Coba (4\alpha+?)( \alpha + ?) = 0. Kita perlu jumlah 11. Faktor 4,4. Coba (4\alpha + ?)( \alpha + ?). Coba akar-akar dari 4x^2+11x+4=0. Menggunakan rumus ABC: x = [-b ± sqrt(b^2-4ac)]/2a
\(\alpha\) = [-11 ± sqrt(11^2 - 4*4*4)] / (2*4)
\(\alpha\) = [-11 ± sqrt(121 - 64)] / 8
\(\alpha\) = [-11 ± sqrt(57)] / 8

Akar-akarnya adalah \(\alpha = \frac{-11 + \sqrt{57}}{8}\) dan \(\beta = \frac{-11 - \sqrt{57}}{8}\) atau sebaliknya.

Jadi, nilai p adalah \(\frac{17}{2}\) dan akar-akarnya adalah \(-\frac{1}{2}\), \(\frac{-11 + \sqrt{57}}{8}\), dan \(\frac{-11 - \sqrt{57}}{8}\).